Esercizio 14 -

Per il principio del generatore equivalente:

$E_1 = R_1 I_1 = 4 \cdot 2\sqrt{2} e^{-j45^\circ} = 8\sqrt{2}\left(\tfrac{\sqrt{2}}{2} - j\tfrac{\sqrt{2}}{2}\right) = (8 - j8) V$

$E_2 = \sqrt{2}\sin(10^3 t + 30^\circ) = \sqrt{2}\cos 30^\circ + j\sqrt{2}\sin 30^\circ = \left(\tfrac{\sqrt{2}}{2} + j\tfrac{\sqrt{6}}{2}\right)$

$E = E_1 + E_2 = (8 - j8) + \tfrac{\sqrt{2}}{2} + j\tfrac{\sqrt{6}}{2} = 8,7 - j6,7 = 11 e^{-j37^\circ} V$

Applico il teorema di Thevenin staccando R₂:

$X_L = \omega L = 10^3 \cdot 2 \cdot 10^{-3} = 2 \ \Omega$

$X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{10^3 \cdot 200 \cdot 10^{-6}} = 5 \ \Omega$

Il partitore fornisce:

$V_{AB} = \frac{E \cdot X_C}{R_1 + X_L + X_C} = \frac{11 e^{-j37^\circ}\cdot 5 e^{-j90^\circ}}{4 + j2 - j5} = \frac{55 e^{-j127^\circ}}{4 - j3}$

$V_{AB} = \frac{55 e^{-j127^\circ}}{5 e^{-j37^\circ}} = 11 e^{-j90^\circ} V$

Calcolo l’impedenza equivalente:

$Z_{EQ} = \frac{X_C(R_1 + X_L)}{R_1 + X_C + X_L} = \frac{-j5(4 + j2)}{4 + j2 - j5} = \frac{10 - j20}{4 - j3}$

$Z_{EQ} = \frac{22,36 e^{j63^\circ}}{5 e^{-j36^\circ}} = 4,47 e^{j27^\circ} = (4 - j2)\ \Omega$

La corrente in R₂:

$i = \frac{E_{EQ}}{Z_{EQ} + R_2} = \frac{11 e^{-j90^\circ}}{(4 - j2) + 2} = \frac{11 e^{-j90^\circ}}{6 - j2}$

$i = \frac{11 e^{-j90^\circ}}{6,32 e^{-j19^\circ}} = 1,74 e^{-j72^\circ} A$

La potenza attiva in R₂:

$P_2 = R_2 I^2 = 2 \cdot \left(\frac{1,74}{\sqrt{2}}\right)^2 \approx 3 W$

Esercizio 14