Esercizio 1

Una linea elettrica alimenta tre carichi in parallelo che assorbono rispettivamente le potenze:

• \(P_1 = 200 \ \text{W}, \quad Q_1 = -100 \ \text{var}\)
• \(P_2 = 300 \ \text{W}, \quad Q_2 = -800 \ \text{var}\)
• \(P_3 = 400 \ \text{W}, \quad Q_3 = 80 \ \text{var}\)

Calcola:

1. l’angolo di fase tra la tensione applicata e la corrente assorbita dalla linea che ha valore efficace \(I_L = 12 \ \text{A}\) e frequenza di rete \(50 \ \text{Hz}\);
2. la tensione applicata ai capi del carico;
3. la capacità \(C_1\) di un condensatore da porre in parallelo al carico, capace di portare il fattore di potenza a \(\cos\varphi = 0{,}8\);
4. l’ulteriore capacità \(C_2\) di un condensatore da porre in parallelo al precedente per ottenere un totale rifasamento del carico.

Esercizio 1: soluzione

L’angolo di fase \(\varphi\) può essere trovato con:

\(
\tan\varphi \;=\; \frac{Q}{P} \;=\;
\frac{Q_1 + Q_2 + Q_3}{P_1 + P_2 + P_3}
\;=\; \frac{-100 - 800 + 80}{200 + 300 + 400}
\;=\; -0{,}911
\) \(\varphi = \operatorname{atan}(-0{,}911) \approx -42^\circ 20'\)

Tensione ai capi del carico (valore efficace):

\(
V \;=\; \frac{P}{I_L \cos\varphi}
\;=\; \frac{P_1 + P_2 + P_3}{\,12 \cdot \cos(-42^\circ 20')\,}
\;\approx\; 101{,}5 \ \text{V}
\)

Rifasamento parziale a \(\cos\varphi' = 0{,}8\):

\(\varphi' = \arccos(0{,}8) \approx 36^\circ 52'\)

Occorre un condensatore di capacità \(C_1\) (in parallelo al carico):

\(
C_1 \;=\; \frac{P\big(\tan\varphi - \tan\varphi'\big)}{\omega V^2}
\;=\; \frac{900\cdot\big(\tan(42^\circ 20')-\tan(36^\circ 52')\big)}{2\pi\cdot 50 \cdot (101{,}5)^2}
\;\approx\; 44{,}5 \ \mu\text{F}
\)

Rifasamento totale (annullare la potenza reattiva residua): l’ulteriore capacità \(C_2\) vale

\(
C_2 \;=\; \frac{P \tan\varphi'}{\omega V^2}
\;=\; \frac{900\cdot \tan(36^\circ 52')}{2\pi\cdot 50 \cdot (101{,}5)^2}
\;\approx\; 200 \ \mu\text{F}
\)

Diagrammi