Esercizio 7 -

Dati di circuito (vedi figura):
$R_1=20\,\Omega,\ R_2=40\,\Omega,\ X_1=25\,\Omega,\ X_2=60\,\Omega,\ P_2=360\,\text{W}$ .
Calcola la tensione di ingresso $V_i$ e la capacità $C$ del condensatore che, con alimentazione a $50\,\text{Hz}$ , porti l’impianto a
$\cos\varphi=0{,}9$ .

Table of Contents

Soluzione

Ramo resistivo (a destra):

$I_2=\sqrt{\tfrac{P_2}{R_2}}=\sqrt{\tfrac{360}{40}}=3\ \text{A}$
$V_o=R_2 I_2=3\cdot 40=120\ \text{V}$

Ramo induttivo (in serie $X_2$ ):

$I_3=\frac{V_o}{jX_2}=\frac{120}{j\,60}=-j\,2\ \text{A}$
$Q_2=X_2 I_3^2 = 60\cdot 2^2=240\ \text{var}$

Ramo sinistro (serie $R_1,X_1$ ):

$I_1 = I_2 + I_3 = 3 - j\,2 \quad\Rightarrow\quad |I_1|=\sqrt{3^2+2^2}=3{,}6\ \text{A},\ \angle I_1=\arctan\!\left(\tfrac{-2}{3}\right)=-33{,}7^\circ$
$|Z_1|=\sqrt{R_1^2+X_1^2}=\sqrt{20^2+25^2}=32,\ \angle Z_1=\arctan\!\left(\tfrac{25}{20}\right)=51{,}3^\circ$

Tensione su $Z_1$ :

$V_1 = I_1 Z_1 = 3{,}6\,e^{-j33{,}7^\circ}\cdot 32\,e^{j51{,}3^\circ} = 115{,}25\,e^{j17{,}6^\circ} = 109{,}8 + j\,34{,}8\ \text{V}$

Tensione d’ingresso (con $V_o$ reale):

$V_i=V_1+V_o=(109{,}8+ j\,34{,}8)+120=229{,}8 + j\,34{,}8\ \text{V}$
$|V_i|=\sqrt{229{,}8^2+34{,}8^2}\approx 232{,}4\ \text{V}$

Potenze dei rami:

$P_1=R_1|I_1|^2 = 20\cdot 3{,}6^2 = 259{,}2\ \text{W}$
$Q_1=X_1|I_1|^2 = 25\cdot 3{,}6^2 = 324\ \text{var}$

Totali:

$P=P_1+P_2=259{,}2+360=619{,}2\ \text{W}$
$Q=Q_1+Q_2=324+240=564\ \text{var}$
$\tan\varphi=\frac{Q}{P}=\frac{564}{619{,}2}\approx 0{,}91$

Rifasamento a $\cos\varphi_1=0{,}9$ :

$\varphi_1=\arccos 0{,}9\approx 25{,}84^\circ,\quad \tan\varphi_1\approx 0{,}48$
$C=\frac{P\big(\tan\varphi-\tan\varphi_1\big)}{\omega V^2} =\frac{619{,}2\,(0{,}91-0{,}48)}{2\pi\cdot 50\cdot 232{,}2^2} \approx 1{,}55\cdot 10^{-5}\ \text{F} = 15{,}5\ \mu\text{F}$

Diagrammi

Stato iniziale: $P = 619{,}2\,\text{W},\ Q = 564\,\text{var},\ S = \sqrt{P^2+Q^2}$ .

Stato iniziale: $P = 619{,}2\,\text{W},\ Q = 564\,\text{var},\ S = \sqrt{P^2+Q^2}$ .

Dopo rifasamento a $\cos\varphi = 0{,}9$ :
$Q_1 = P \tan(\arccos 0{,}9) \approx 300\,\text{var}$ .

Dopo rifasamento a $\cos\varphi = 0{,}9$ :
$Q_1 = P \tan(\arccos 0{,}9) \approx 300\,\text{var}$ .

Esercizio 7

Soluzione

Diagrammi

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