Esercizio 7

Dati di circuito (vedi figura):
\(R_1=20\,\Omega,\ R_2=40\,\Omega,\ X_1=25\,\Omega,\ X_2=60\,\Omega,\ P_2=360\,\text{W}\).
Calcola la tensione di ingresso \(V_i\) e la capacità \(C\) del condensatore che, con alimentazione a \(50\,\text{Hz}\), porti l’impianto a
\(\cos\varphi=0{,}9\).

Soluzione

Ramo resistivo (a destra):

\(I_2=\sqrt{\tfrac{P_2}{R_2}}=\sqrt{\tfrac{360}{40}}=3\ \text{A}\)
\(V_o=R_2 I_2=3\cdot 40=120\ \text{V}\)

Ramo induttivo (in serie \(X_2\)):

\(I_3=\frac{V_o}{jX_2}=\frac{120}{j\,60}=-j\,2\ \text{A}\)
\(Q_2=X_2 I_3^2 = 60\cdot 2^2=240\ \text{var}\)

Ramo sinistro (serie \(R_1,X_1\)):

\(I_1 = I_2 + I_3 = 3 - j\,2 \quad\Rightarrow\quad |I_1|=\sqrt{3^2+2^2}=3{,}6\ \text{A},\ \angle I_1=\arctan\!\left(\tfrac{-2}{3}\right)=-33{,}7^\circ\)
\(|Z_1|=\sqrt{R_1^2+X_1^2}=\sqrt{20^2+25^2}=32,\ \angle Z_1=\arctan\!\left(\tfrac{25}{20}\right)=51{,}3^\circ\)

Tensione su \(Z_1\):

\(V_1 = I_1 Z_1 = 3{,}6\,e^{-j33{,}7^\circ}\cdot 32\,e^{j51{,}3^\circ}
= 115{,}25\,e^{j17{,}6^\circ}
= 109{,}8 + j\,34{,}8\ \text{V}\)

Tensione d’ingresso (con \(V_o\) reale):

\(V_i=V_1+V_o=(109{,}8+ j\,34{,}8)+120=229{,}8 + j\,34{,}8\ \text{V}\)
\(|V_i|=\sqrt{229{,}8^2+34{,}8^2}\approx 232{,}4\ \text{V}\)

Potenze dei rami:

\(P_1=R_1|I_1|^2 = 20\cdot 3{,}6^2 = 259{,}2\ \text{W}\)
\(Q_1=X_1|I_1|^2 = 25\cdot 3{,}6^2 = 324\ \text{var}\)

Totali:

\(P=P_1+P_2=259{,}2+360=619{,}2\ \text{W}\)
\(Q=Q_1+Q_2=324+240=564\ \text{var}\)
\(\tan\varphi=\frac{Q}{P}=\frac{564}{619{,}2}\approx 0{,}91\)

Rifasamento a \(\cos\varphi_1=0{,}9\):

\(\varphi_1=\arccos 0{,}9\approx 25{,}84^\circ,\quad \tan\varphi_1\approx 0{,}48\)
\(
C=\frac{P\big(\tan\varphi-\tan\varphi_1\big)}{\omega V^2}
=\frac{619{,}2\,(0{,}91-0{,}48)}{2\pi\cdot 50\cdot 232{,}2^2}
\approx 1{,}55\cdot 10^{-5}\ \text{F} = 15{,}5\ \mu\text{F}
\)