Esercizio n°4

Due condensatori sono collegati come illustrato in figura

Per ottenere una ripartizione della tensione  V_i  applicata in ingresso.
Sono noti:
V_i = 200 V
C₁ = 0,8 μF
V₂ = 40V

Trova il valore della capacità del condensatore C₂ che permette di ottenere la ripartizione di tensione desiderata ed il valore della capacità del condensatore C₃ da porre in parallelo a  C₁  in modo che la tensione di uscita si porti a V‘₂ = 75 V.

soluzione

La quantità di carica Q dei due condensatori vale:

\(
Q = C_{\text{eq}} V_i = \frac{1}{\frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2}} V_i = \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2} V_i
\)

Per  V₂ abbiamo  Q = C₂ V₂, quindi:

\(
C_2 V_2 = \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2} V_i \quad \Rightarrow \quad V_2 = \frac{C_1}{C_1 + C_2} V_i
\)

Poi avremo:

\(
V_2 C_1 + V_2 C_2 = C_1 V_i \quad \Rightarrow \quad V_2 C_2 = C_1 V_i - C_1 V_2
\) \(
V_2 C_2 = C_1 (V_i - V_2)
\)

Infine:

\(
C_2 = C_1 \cdot \frac{V_i - V_2}{V_2} = 0{,}8 \cdot \frac{200 - 40}{40} = 0{,}8 \cdot 4 = 3{,}2\,\mu\text{F}

\)

Poi si vorrebbe mettere un condensatore  C₃  in parallelo a C₁  per portare la V₂ al valore:

\(
V_2' = 75\,\text{V}
\)

Se indichiamo tale parallelo come  C_P = C₁ + C₃ , possiamo rifare il ragionamento precedente.

La quantità di carica Q accumulata dal sistema di condensatori è uguale alla quantità di carica accumulata ai capi di ciascun componente (serie), quindi deve essere:

\(
C_P V_2' = C_2 V'' = C_{\text{eq}} V_i
\) \(
C_P (V_i - V_2') = C_2 V_2'
\) \(
C_P = C_2 \cdot \left( \frac{V_2'}{V_i - V_2'} \right) = 3{,}2 \cdot \left( \frac{75}{200 - 75} \right) \approx 1{,}92\,\mu\text{F}
\)

Troviamo che:

\(
C_P = C_1 + C_3 \quad \Rightarrow \quad 1{,}92 = 0{,}8 + C_3
\) \(
C_3 = 1{,}92 - 0{,}8 = 1{,}12\,\mu\text{F}
\)