Esercizio n°47 -

Esercizio 47

Due cariche puntuali di $q_1 = 2 \cdot 10^{-7}\,\text{C}$ e $q_2 = 3 \cdot 10^{-7}\,\text{C}$ sono separate da una distanza di $0{,}1\,\text{m}$ .
Calcola il campo ed il potenziale elettrico risultante nel punto medio P sulla retta congiungente le due cariche.
Trovare il punto K distante $x$ dalla carica $q_1$ nel quale i due campi elettrici si elidono.

soluzione

Calcoliamo il campo elettrico in $P$ dovuto ad ogni carica:

$E_1 = k_0 \frac{q_1}{r^2} = 9 \cdot 10^9 \cdot \frac{2 \cdot 10^{-7}}{0{,}05^2}$

$E_2 = k_0 \frac{q_2}{r^2} = 9 \cdot 10^9 \cdot \frac{3 \cdot 10^{-7}}{0{,}05^2}$

Cioè:

$E_P = E_2 - E_1 = \frac{9 \cdot 10^9}{25 \cdot 10^{-4}} (3 - 2) \cdot 10^{-7} = 360 \cdot 10^3\,\text{N/C}$

Il potenziale in P sarà:

$V_P = k_0 \left( \frac{q_1 + q_2}{r} \right) = 9 \cdot 10^9 \left( \frac{2 + 5}{0{,}05} \right) \cdot 10^{-7} = 9 \cdot 10^4\,\text{V}$

Cerchiamo ora il punto $K$ dove i due campi si elidono reciprocamente $E_1 = E_2$ .

$k_0 \frac{q_1}{x^2} = k_0 \frac{q_2}{(0{,}1 - x)^2} \Rightarrow q_1 (0{,}1 - x)^2 = q_2 x^2$

Inseriamo i numeri:

$2 \cdot 10^{-7} (0{,}1 - x)^2 = 3 \cdot 10^{-7} x^2$

$2 (0{,}01 - 0{,}2x + x^2) = 3x^2$

$x^2 + 0{,}4x - 0{,}02 = 0$

Risolvendo:

$x = \frac{-0{,}4 \pm \sqrt{0{,}4^2 + 4 \cdot 1 \cdot 0{,}02}}{2} = \frac{-0{,}4 \pm \sqrt{0{,}16 + 0{,}08}}{2} = \frac{-0{,}4 \pm \sqrt{0{,}24}}{2}$

$x = \frac{-0{,}4 \pm 0{,}4899}{2} \Rightarrow x_1 \approx 0{,}0449\,\text{m},\quad x_2 \approx -0{,}4449\,\text{m}$

Dato che le cariche sono entrambe positive, è ragionevole pensare che la coordinata che identifica il punto $K$ sia $x \approx 0{,}0449\,\text{m}$

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