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Induttore

Un induttore, detto anche induttanza, è un dispositivo utilizzato per generare un campo magnetico in una regione dello spazio.

Un induttore può essere realizzato tramite un semplice solenoide, costituito da materiale conduttore percorso da corrente elettrica. Un solenoide è un insieme di più spire contigue (adiacenti) avvolte tutte nello stesso verso secondo una geometria cilindrica. Se la lunghezza del solenoide è minore di 10 volte il raggio delle spire si parla comunemente di bobina.

Se una corrente $i$ circola attraverso ciascuna delle $N$ spire di una induttanza, un flusso magnetico $\phi$ concatenerà queste spire.

Come grandezza fisica, l’induttanza $L$ di un induttore viene definita come:

$L = \frac{N\phi}{i}$

L’unità di misura è l’Henry:

$H = \frac{T \cdot m^2}{A}$

dove $N$ è il numero delle spire, $i$ è la corrente circolante e $\phi$ è il flusso concatenato.
Nel caso specifico di un solenoide o bobina, questa formula può essere scritta come:

$\phi = B A \quad \Rightarrow \quad N\phi = N B A$

con il campo magnetico espresso come:

$B = \mu_0\, i \left( \frac{N}{l} \right)$

Sostituendo nella definizione iniziale:

$L = \frac{N A}{i} \cdot \mu_0\, i \left( \frac{N}{l} \right)$

Si semplifica e si ottiene la formula finale della f.e.m. indotta:

$\Delta V = -L \frac{di}{dt}$

con $\mu_0 = 4\pi \cdot 10^{-7}\ \mathrm{H/m} = 1,257 \cdot 10^{-6}\ \mathrm{H/m}$ permeabilità magnetica del vuoto ed $l$ la lunghezza longitudinale della bobina.
Se all’interno dell’induttore è presente un materiale ferromagnetico con permeabilità magnetica relativa $\mu_r$, allora $\mu_0$ deve essere moltiplicato per $\mu_r$.

Autoinduzione

Se in una bobina varia l’intensità della corrente si genera una forza elettromotrice indotta (f.e.m.) $\Delta V$. Questo fenomeno, detto autoinduzione, è descritto dalla legge di Faraday.

Sapendo che:

$L = \frac{N\phi}{i}$

e che la legge di Faraday per una spira afferma:

$\Delta V = -\frac{d}{dt} \int_A \vec{B} \cdot d\vec{A} = -\frac{d\phi}{dt}$

con $N$ spire si ha:

$\Delta V = -\frac{d(N\phi)}{dt}$

per un solenoide o una bobina:

$\Delta V = -L \frac{di}{dt}$

Questa f.e.m. è presente in qualsiasi induttanza ogni volta che la corrente varia nel tempo.
Il verso di $\Delta V$, o $V_L$, è dato dalla legge di Lenz: la f.e.m. agisce contrastando la variazione che la provoca.

Se la corrente aumenta, $V_L$ si oppone a tale aumento; se la corrente diminuisce, $V_L$ si oppone alla diminuzione.

Energia immagazzinata in una induttanza

Consideriamo il circuito:

Dalla legge di Kirchhoff alle maglie:

$E = iR + L \frac{di}{dt}$

Moltiplicando per $i$:

$Ei = i^2 R + L i \frac{di}{dt}$

dove:

$Ei$ = potenza fornita al circuito
$i^2 R$ = potenza dissipata sulla resistenza
$L i \frac{di}{dt}$ = potenza sviluppata sull’induttore

$P_L = \frac{dW}{dt} = L i \frac{di}{dt}$

Moltiplicando per $dt$:

$dW = L i\, di$

Integrando:

$W = \frac12 L i^2$

Tenendo conto che $Li = N\phi$:

$W = \frac12 N\phi\, i$

Si possono quindi usare indifferentemente le due forme:

$W = \frac12 L i^2$

$W = \frac12 N\phi\, i$

Induttanze in serie

La tensione ai capi di un induttore è:

$V_L = -L \frac{di}{dt}$

Per più induttanze in serie:

$L_{\mathrm{eq}} = L_1 + L_2 + \dots + L_n$

Induttanze in parallelo

Per induttanze in parallelo, con tensione comune e correnti che si sommano:

$\frac{di}{dt} = \frac{di_1}{dt} + \frac{di_2}{dt}$

Poiché:

$\frac{di}{dt} = -\frac{V}{L}$

si ottiene:

$\frac{V}{L} = \frac{V}{L_1} + \frac{V}{L_2}$

$\frac{1}{L} = \frac{1}{L_1} + \frac{1}{L_2}$

Per due induttanze:

$L_{\mathrm{eq}} = \frac{L_1 L_2}{L_1 + L_2}$

In generale:

$\frac{1}{L_{\mathrm{eq}}} = \sum_{i=1}^n \frac{1}{L_i}$

AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA

Induttore

Un induttore, detto anche induttanza è un dispositivo utilizzato per generare un campo magnetico. in una regione dello spazio.

Se una corrente i circola attraverso ciascuna delle N spire di una induttanza, un flusso magnetico φ concatenerà queste spire.

Come grandezza fisica, l’induttanza L di un induttore viene definita come:

$L = \frac{N\phi}{i}$

L’unità di misura è l’Henry:

$H = \frac{T \cdot m^2}{A}$

dove N è il numero delle spire, i è la corrente circolante e φ è il flusso concatenato.
Nel caso specifico di un solenoide o bobina, questa formula può essere scritta nel seguente modo:

$\phi = B A \quad \Rightarrow \quad N\phi = N B A$

con il campo magnetico espresso come:

$B = \mu_0 i \left( \frac{N}{l} \right)$

vettore di induzione magnetica. Si ha

Sostituendo nella definizione iniziale:

$L = \frac{N A}{i} \cdot \mu_0 i \left( \frac{N}{l} \right)$

Si semplifica e si ottiene la formula finale:

$\Delta V = -\frac{d(Li)}{dt} \quad \Rightarrow$

$\Delta V = -L \frac{di}{dt}$

con μ_o=4π·10^-7 [H/m] =1,257·10^-6 [H/m] permeabilità magnetica del vuoto ed l lunghezza longitudinale della bobina.
Se all’interno dell’induttore è presente un materiale ferromagnetico con permeabilità magnetica relativa μ_r , allora μ_o deve essere moltiplicato per μ_r.

Autoinduzione

Se in una bobina varia l’intensità della corrente si genera una forza elettromotrice indotta (f.e.m.) che chiamiamo ΔV.
Questo fenomeno viene chiamato autoinduzione ed è subordinato alla legge di induzione di Faraday.

Sapendo che
$L = \frac{N\phi}{i}$
mentre la legge di Faraday per una spira afferma che:

$\Delta V = -\frac{d}{dt} \int_A \vec{B} \cdot d\vec{A} = -\frac{d\phi}{dt}$

con $N$ spire si ha:
$\Delta V = -\frac{d(N\phi)}{dt}$

per il solenoide o una bobina:

$\Delta V = -\frac{d(Li)}{dt} \quad \Rightarrow$

$\Delta V = -L \frac{di}{dt}$

questa f.e.m. sarà presente in qualsiasi induttanza ogni volta che la corrente varia nel tempo.

Il verso di ΔV, che per semplicità possiamo anche chiamare V_L è dato dalla legge di Lenz: la f.e.m. agisce contrastando la variazione che la provoca .

Infatti, variando la corente, il flusso magnetico cambia. Se la corrente aumenta, si genera una tensione indotta V_L sulla bobina in direzione tale da contrastare questo aumento. Se la corrente diminuisce la tensione indotta si genera in direzione tale da contrastare questa diminuzione.

Energia immagazzinata in una induttanza

Per ricavare il valore dell’energia ricavata nel campo magnetico di una induttanza osserviamo il seguente circuito:

Dove per la legge di Kirchoff alle maglie si ha:

$E = V_L + V_R \quad \Rightarrow \quad E = iR + L \frac{di}{dt}$

Equazione differenziale che descrive l’andamento nel tempo della corrente nel circuito.
Moltiplicando entrambi i membri per $i$ si ha :

$Ei = i^2 R + Li \frac{di}{dt}$

dove:

$Ei$ rappresenta la potenza fornita al circuito

$i^2 R$ rappresenta la potenza dissipata sulla resistenza

$Li \frac{di}{dt}$ rappresenta la potenza sviluppata sull’induttore

Il termine:

$P_L = \frac{dW}{dt} = Li \frac{di}{dt} \qquad \left[ W \right] \quad \text{(Watt)}$

rappresenta, dunque, la potenza (energia nell’unità di tempo) sviluppata sull’induttore.
Moltiplicando per $dt$ entrambi i membri dell’uguaglianza:

$dW = Lidi \quad \xrightarrow{\text{integrando}} \quad W = L \int i\,di = \frac{1}{2}Li^2$

Tenendo conto che $Li = N\phi$ , si ha:

$W = \frac{1}{2}Li^2 = \frac{1}{2}(Li)i = \frac{1}{2}N\phi i \qquad \left[ J \right]$

Per indicare l’energia immagazzinata nell’induttore possiamo indifferentemente usare la formula:

$W = \frac{1}{2}Li^2$

oppure

$W = \frac{1}{2}N\phi i$

Induttanze in serie

La tensione elettrica è direttamente proporzionale all’induttanza L tramite la relazione

$V_L = -L \frac{di}{dt}$

Poiché le tensioni per gli elementi in serie si sommano $(V_1 + V_2)$ , allora le induttanze in serie devono sommarsi
( $L_{\text{eq}} = L_1 + L_2$ ), proprio come avviene per le resistenze.

Per garantire l’indipendenza dei valori di tensione è importante che gli induttori non siano troppo vicini tra loro. Il requisito fondamentale è che la linea del campo magnetico proveniente da un induttore non debba avere influenza su nessun altro induttore nelle vicinanze; dunque per n induttanze in serie si ha:

$L_{\text{eq}} = \sum_{i=1}^{n} L_i$

Induttanze in parallelo

Abbiamo visto come la formula della tensione ai capi di un induttore sia direttamente proporzionale all’induttanza L, in completa analogia alla formula della tensione ai capi di una resistenza: V_R=R·i.

dove c’è proporzionalità diretta tra tensione e resistenza.

Ora, abbiamo visto nei circuiti puramente resistivi che tensioni indipendenti per elementi paralleli sono uguali (V₁=V₂) mentre le correnti (che sono generalmente funzione del tempo) sommano i₁(t)+i₂(t)=i(t).