Esercizio 9

DiAlfredo Di Fiore

Il circuito riportato è a regime, quando viene chiuso il tasto T₁; dopo un tempo t_0 = 5\, \mu\text{s} viene chiuso il tasto T₂.
Descrivi l’andamento della tensione V_{AB} .

  • E = 100\,\text{V}
  • R_1 = 20\,\text{k}\Omega
  • R_2 = 8\,\text{k}\Omega
  • R = 12\,\text{k}\Omega
  • L = 10\,\text{mH}

soluzione

Prima della chiusura di T₁:

La corrente è:
i = I_0 = \frac{E}{R + R_2} = \frac{100}{20} = 5\, \text{mA}

La tensione V_{AB} , sempre prima della chiusura di T₁, vale:
V_{AB0} = R_1 \cdot I_0 = 60\, \text{V}

Alla chiusura del tasto T₁:

La corrente nell’induttanza resta I_0 e nel resistore R_1 si genera una corrente I tale che:

E = R_1 I + R_2 (I + I_0) \Rightarrow I = \frac{E - R_1 I_0}{R_1 + R_2} = \frac{100 - 8 \cdot 10^3 \cdot 5 \cdot 10^{-3}}{28 \cdot 10^3} = 2{,}14\, \text{mA}

La corrente totale erogata dal generatore sarà:
i = I + I_0 = 2{,}14 + 5 = 7{,}14\, \text{mA}

Nuovo valore di regime:

I_1 = \frac{E}{R_2 + \left(\frac{R \parallel R_1}{R_1}\right)} = \frac{100}{8 + \frac{20 \cdot 12}{32}} = 6{,}45\, \text{mA}

Durante il transitorio:

La corrente varia secondo:
i(t) = I_1 - (I_1 - i_i) \cdot e^{-t/\tau}

con:

R_x = R + \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} = 12 + \frac{20 \cdot 8}{28} = 17{,}72\, \text{k}\Omega

\tau = \frac{L}{R_x} = \frac{10 \cdot 10^{-3}}{17{,}72 \cdot 10^3} = 0{,}565\, \mu\text{s}

Quindi:
i(t) = 6{,}45 + 0{,}69 \cdot \exp\left(-\frac{t}{0{,}565 \cdot 10^{-6}} \right)\, \text{mA}

Tensione V_{AB} nel transitorio:

V_{AB}(t) = E - R_2 i(t) = 100 - 8 \cdot i(t)

da cui:
V_{AB}(t) = 48{,}4 - 5{,}52 \cdot \exp\left(-\frac{t}{0{,}565 \cdot 10^{-6}} \right)\, \text{V}

che tende a 48{,}4\, \text{V}

All’istante t_0 = 5\,\mu\text{s} , chiusura di T₂:

Il transitorio è praticamente concluso, quindi:
i = \frac{E}{R_2} = \frac{100}{8} = 12{,}5\, \text{mA}

e:

V_{AB} \rightarrow 0\, \text{V}

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