In base alle esperienze di Faraday sappiamo che esistono due modi per produrre una corrente elettrica in un circuito chiuso non dotato di un proprio generatore come ad esempio una spira chiusa in cui venga inserito un amperometro (A) per verificare la presenza di corrente.

Il primo modo consiste nel muovere un magnete permanente (calamita) rispetto alla spira. Noteremo che

● Si genera corrente solo se la spira ed il magnete sono in moto relativo l’uno rispetto all’altro. In assenza di tale moto la corrente nella spira cessa di esistere .
● Un movimento più veloce produce una corrente più intensa.
● Avvicinando il polo nord alla spira si provoca una corrente in un senso, allontanandolo la corrente circola in senso opposto.
● Avvicinando ed allontanando, invece, il polo sud la corrente si inverte.

La corrente che appare nella spira isolata è detta indotta e viene generata in virtù di una forza elettro motrice (f.e.m) indotta.

Esiste un secondo modo per generare una corrente in un circuito isolato.

Vicino alla spira possiamo posizionare un secondo circuito dotato di una batteria in continua e da un interruttore (T).
Se si chiude l’interruttore permettendo alla batteria di produrre corrente nella spira di destra l’ago dell’amperometro (A) collocato nella spira di sinistra, si sposterà, rilevando per un istante la presenza di una corrente elettrica indotta che quasi istantaneamente si annulla.
Se dopo qualche istante apriamo l’interruttore interrompendo la corrente nel circuito a destra l’ago dell’amperometro si sposta ancora ma in senso opposto.

Deduciamo che solo quando la corrente nella spira destra aumenta o diminuisce si produce una corrente e quindi una f.e.m. indotta nella spira di sinistra.

Se nella spira destra la corrente è costante (o nulla) non viene indotta alcuna f.e.m. nella spira di sinistra.

Si conclude che le f.e.m. vengono indotte quando varia la quantità di campo magnetico che attraversa la spira, cioè la densità delle linee di forza di campo magnetico che attraversano la spira.

Più precisamente quello che induce la f.e.m. è variazione delle linee di forza che attraversano la spira nell’unità di tempo. In particolare è la rapidità con cui questo numero cambia che determina l’intensità della f.e.m. indotta.

Nel primo esperimento le linee di forza sono generate dal magnete e il numero delle linee di forza che attraversano la spira aumenta quando il magnete si avvicina. Se il magnete si ferma il numero di linee di forza che concatenano la spira smette di variare e cessano sia f.e.m. che corrente indotta.

Nel secondo esperimento le linee di forza sono assenti quando l’interruttore è aperto, mentre quando questo viene chiuso la corrente scorre nel circuito destro. Il campo magnetico associato alla spira destra cresce improvvisamente e aumenta conseguentemente il numero di linee di forza che concatenano la spira di sinistra.Nel secondo esperimento le linee di forza sono assenti quando l’interruttore è aperto, mentre quando questo viene chiuso la corrente scorre nel circuito destro. Il campo magnetico associato alla spira destra cresce improvvisamente e aumenta conseguentemente il numero di linee di forza che concatenano la spira di sinistra.
Questa improvvisa e rapida variazione determina l’instaurarsi di una corrente e tensione indotte nella spira sinistra.

$\phi = \int \vec{B} \cdot d\vec{A} \quad \Rightarrow \quad \phi = B \cdot A$
(se il vettore $\vec{B}$ è ortogonale all’area $A$ della spira)

Ricordiamo la legge di Lenz come
$\Delta V = -\frac{d\phi}{dt}$

Nel caso delle bobine sappiamo che
$\Delta V = -N \frac{d\phi}{dt}$
con $N$ numero delle spire.

il segno (−) indica la direzione della f.e.m. indotta, specificando che essa si oppone alla variazione del flusso.

Per poter esprimere questa f.e.m. è necessario conoscere l’espressione del flusso concatenato (Φ_C) col circuito in funzione della corrente I che vi circola. A tale proposito osserviamo che, se il mezzo che circonda il circuito elettrico è a permeabilità costante, il flusso concatenato risulterà certamente proporzionale alla corrente che vi scorre. Possiamo quindi scrivere:

Φ_C = L×I

essendo L il fattore di proporzionalità sopra detto che prende il nome di coefficiente di autoinduzione o anche di induttanza del circuito dato.

Tale nuovo parametro risulta avere dimensioni fisiche date dal rapporto tra un flusso e una corrente; cioè:

$\left[ \frac{\text{Weber}}{\text{Ampere}} \right] = \left[ \frac{\text{Volt} \cdot \text{secondo}}{\text{Ampere}} \right] = \left[ \text{Ohm} \cdot \text{secondo} \right]$

Poiché l’unità di misura del flusso è stata denominata Henry (simbolo H), avremo:
$\left[ \text{henry}\right] = \left[ \text{Ohm} \cdot \text{secondo} \right]$

Supponiamo adesso che il fenomeno sia variabile nel tempo: chiamiamo $\Phi_{C1}$ il valore del flusso concatenato con il circuito nell’istante $t_1$ , e $\Phi_{C2}$ il valore del flusso concatenato nel successivo istante $t_2$ .
Sappiamo che il valore medio della f.e.m. indotta si ricava (a meno del segno) con l’espressione:

$E_m = \frac{\Phi_{C2} - \Phi_{C1}}{t_2 - t_1}$

Se adesso sostituiamo i valori $\Phi_{C1} = L \cdot I_1$ e $\Phi_{C2} = L \cdot I_2$ nella formula scritta, otteniamo:

$E_m = L \cdot \frac{I_2 - I_1}{t_2 - t_1}$

Questa espressione permette di dare una nuova definizione dell’induttanza: un circuito ha l’induttanza di 1 henry quando, al variare della corrente di 1 ampere al secondo, si autoinduce la f.e.m. di 1 volt.

Supponiamo che il nostro circuito sia composto da $N$ spire e indichiamo al solito con ${\mathcal{R}}$ la riluttanza del circuito magnetico in cui si svolge il flusso.
Quest’ultimo, in base alla legge di Hopkinson, è dato dalla formula:

$\Phi = \frac{N\,I}{\mathcal{R}}$

Poiché il circuito elettrico è costituito da $N$ spire, questo flusso si concatena $N$ volte, per cui il flusso concatenato $\Phi_C$ è:

$\Phi_C = N \cdot \Phi$

e quindi:

$\Phi_C = \frac{N^2 \cdot I}{\mathcal{R}} = L \cdot I$

L’induttanza $L$ del circuito può quindi essere scritta come:

$L = \frac{N^2}{\mathcal{R}}$

Questa espressione ha il pregio di comprendere solo grandezze fisiche oggettive del circuito: numero di spire e riluttanza (a sua volta costituita da parametri geometrici e dalla permeabilità, caratteristica del materiale impiegato), per cui consente di valutare il valore L indipendentemente dalle condizioni di impiego del circuito, in particolare dal valore della corrente che lo attraversa.

Da tale espressione osserviamo che l’induttanza è piccola per un filo rettilineo immerso nell’aria (nel qual caso si ha grande riluttanza, quindi poco flusso concatenato); aumenta invece se il filo immerso nell’aria viene avvolto a solenoide (l’induttanza aumenta col quadrato del numero delle spire).

Aumenta maggiormente se le spire sono avvolte su materiale ferromagnetico: diminuisce la riluttanza perché aumenta di molto la permeabilità media μ del circuito magnetico.

Infine, l’induttanza è massima se il nucleo ferroso viene chiuso su se stesso: le linee di forza si sviluppano totalmente nel ferro, il flusso generato è massimo.

Teniamo presente che l’induttanza non è un valore costante se il flusso magnetico si svolge in materiali ferromagnetici in presenza di una sua variazione; è costante invece se nell’aria o in un mezzo paramagnetico (μ = costante).

Riprendiamo adesso la legge di Ohm per i circuiti elettrici, modificandola per fenomeni variabili e di tipo induttivo: deve essere scritta per i valori istantanei delle tensioni in gioco.

In presenza di un flusso variabile, in un circuito con induttanza, la corrente che scorre non è più data dal semplice rapporto:

$i = \frac{V}{R}$

occorre infatti tener conto degli effetti dell’autoinduzione che in pratica determina una caduta di tensione data, in valore assoluto, dalla legge di Lenz.

In realtà occorre precisare che il segno del valore istantaneo della tensione indotta, dovuta all’induttanza, dipende da quello della variazione della corrente. La caduta di tensione induttiva è quindi fisicamente differente dalla caduta di tensione ohmica, perciò, dal punto di vista grafico, è opportuno differenziarle bene, Figura 1.

Si può quindi rappresentare un circuito dotato di resistenza R e di induttanza L come in Figura 2a. Indichiamo, al solito, con lettere minuscole i valori istantanei. Quando il circuito è percorso dalla corrente i, ciascun elemento determinerà una caduta di tensione, la quale deve essere dipendente dalla corrente che vi circola e la cui somma algebrica $\vec{V} = \vec{V}_R + \vec{V}_L$ necessariamente equilibra la tensione v applicata dall’esterno, si veda la figura 2b.

Dopo quanto è stato detto è facile dimostrare che più induttanze L₁, L₂, L₃ … collegate in serie, (figura 3) cioè percorse tutte dalla stessa corrente i, equivalgono ad un’unica induttanza L espressa dalla formula:

L = L₁ + L₂ + L₃ + …

L’induttanza equivalente di più induttanze collegate fra loro in parallelo è espressa invece dalla formula:

$\frac{1}{L} = \frac{1}{L_1} + \frac{1}{L_2} + \frac{1}{L_3} + \dots$

analoga a quella vista per le resistenze in parallelo.

Si possono indurre f.e.m. in un circuito per azione di un altro circuito, percorso da una corrente variabile nel tempo, a patto che i due occupino una posizione tale per cui tutto o una parte del flusso generato da uno, si concateni con l’altro. I due circuiti si dicono allora mutuamente concatenati e mutua induzione è chiamato il fenomeno relativo.

Si abbiano due circuiti disposti come in figura 4: indichiamo con I₁, la corrente che percorre il primo, induttore, e Φ₁, il relativo flusso generato.

Per la posizione reciproca dei due circuiti, una parte del flusso Φ₁ si concatena con il secondo. Se i due circuiti si trovano immersi in un mezzo a permeabilità costante, il flusso magnetico dovuto al primo e concatenato col secondo sarà proporzionale alla corrente I₁.

Possiamo perciò scrivere per il flusso concatenatosi N₂ volte col secondo circuito (indotto):

N₂×Φ₁₂ = Φ_C₁₂ = M×I₁

Un ragionamento identico può essere fatto considerando il flusso Φ₂ generato dalla corrente I₂ (che percorre il secondo circuito) che si concatena N₁ volte col primo circuito; dunque:

N₁×Φ₂₁ = Φ_C₂₁ = M×I₂

Il fattore M, il cui valore risulta funzione delle dimensioni, della forma e della posizione relativa dei due circuiti, nonché del mezzo in cui si svolgono le linee di forza, viene chiamato coefficiente di mutua induzione, misurato anch’esso in Henry.

Se nel circuito induttore si varia l’intensità della corrente che lo percorre dal valore , al valore , si varierà da a , di conseguenza anche l’entità del flusso concatenato operante sulle N₂ spire del circuito indotto.

Questa variazione di flusso avvenuta nel tempo t induce in ogni spira del circuito indotto, una f.e.m. il cui valore medio è dato (a meno del segno) dall’espressione: $E_m = \frac{\Phi^\prime_{C12} - \Phi_{C12}}{t} = M \cdot \frac{I_1^\prime - I_1}{t}$ Possiamo quindi dare del coefficiente di mutua induzione la seguente definizione: due circuiti hanno il coefficiente di mutua induzione di 1 henry quando, al variare dell’intensità di corrente di 1 ampere al secondo in un circuito, si induce nell’altro la f.e.m. di 1 volt.

Quando tutto il flusso generato dal circuito induttore si concatena con il circuito indotto, si ha un concatenamento perfetto. Nel trasformatore che è una macchina elettrica il cui funzionamento si basa sul fenomeno della mutua induzione e che serve per innalzare o abbassare il valore della tensione nei circuiti a corrente alternata in cui viene inserita, si ha un accoppiamento quasi perfetto.

Mutua induzione

Per quanto visto in questo secondo esperimento, se in una spira varia la corrente i nel tempo, si genera una corrente indotta nel secondo circuito.
Questo fenomeno è chiamato induzione, più precisamente mutua induzione; per suggerire l’interazione tra le due spire (o bobine).
Per definire le leggi della mutua induzione facciamo riferimento al seguente schema:

dove abbiamo due bobine circolari con spire contigue (una vicino all’altra con l’asse coincidente).

Se nella bobina 1 circola una corrente i₁ prodotta dalla batteria, questa corrente produce un campo magnetico B₁. La bobina 2 non ha una batteria, ma è dotata di un amperometro ed è interessata da un campo magnetico ɸ₂₁ associato alla corrente i₁ della bobina 1 che si concatena con le sue N₂ spire. Si definisce mutua induttanza M₂₁ della bobina 2 rispetto alla bobina 1.

$M_{21} = \frac{N_2 \phi_{21}}{i_1}$
dove si nota l’analogia con la formula
$L = \frac{N \phi}{i}$
dell’induttanza.
In base a questa analogia e all’analisi dimensionale si deduce che l’unità di misura della mutua induttanza è l’Henry (H).

Pertanto:
$M_{21} i_1 = N_2 \phi_{21}$

Se la corrente $i_1$ è variabile nel tempo, si ha:
$M_{21} \frac{di_1}{dt} = N_2 \frac{d\phi_{21}}{dt}$

Ma per la legge di Faraday sappiamo che:
$E_2 = -M_{21} \frac{di_1}{dt}$
analoga alla formula dell’autoinduzione:
$E = -L \frac{di}{dt}$

Pertanto:
$M_{21} i_1 = N_2 \phi_{21}$

Se la corrente $i_1$ è variabile nel tempo, si ha:
$M_{21} \frac{di_1}{dt} = N_2 \frac{d\phi_{21}}{dt}$

Ma per la legge di Faraday sappiamo che:
$E_2 = -M_{21} \frac{di_1}{dt}$
analoga alla formula dell’autoinduzione:
$E = -L \frac{di}{dt}$ .

Se ora scambiamo il ruolo della bobina 1 con quello della bobina 2 dotando quest’ultimo circuito con la batteria tolta dalla bobina 1, ci sarà una corrente i₂ nella bobina 2 che produce un campo magnetico B₂ che a sua volta produce un flusso magnetico ɸ₁₂ che si concatena alla bobina 1.

Variando la corrente i₂ avremo da fare le stesse considerazioni già viste prima, ottenendo.

$E_1 = -M_{12} \frac{di_2}{dt}$

Si conclude che la f.e.m. in ogni bobina è proporzionale alla variazione di corrente nell’altra bobina.
Le costanti $M_{21}$ ed $M_{12}$ sono in generale distinte, ma se la geometria e la costituzione delle due bobine sono le stesse si ha:
$M_{12} = M_{21} = M$
e dunque:

$E_1 = -M \frac{di_2}{dt}$

$E_2 = -M \frac{di_1}{dt}$

Il fenomeno della mutua induzione è dunque associato alla generazione di una tensione indotta in una spira chiusa quando varia il campo magnetico che si concatena con la spira stessa.

L’insorgere di f.e.m. indotte è una diretta conseguenza delle variazioni del flusso di induzione magnetica concatenato con il circuito indotto.