Diagrammi – Elementi di Trigonometria – Vettori

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Diagrammi – Elementi di Trigonometria – Vettori

Per lo studio delle correnti alternate è utile richiamare alcune nozioni di matematica: funzioni e loro diagrammi cartesiani, elementi essenziali di trigonometria e operazioni con i vettori.

Funzioni e diagrammi cartesiani

Una funzione è una relazione che associa ad ogni valore della variabile indipendente x uno e un solo valore della variabile dipendente y. Si scrive \( y = f(x) \). Esempi: l’area di un quadrato in funzione del lato; il volume di una sfera in funzione del raggio; la corrente in un circuito resistivo in funzione della tensione applicata.

Il diagramma cartesiano si ottiene fissando due assi perpendicolari (ascisse \(x\), ordinate \(y\)) e riportando nel piano le coppie \((x,y)\). L’unione dei punti genera l’andamento della funzione.

Gradi e radianti

    \[ \frac{\alpha^\circ}{180^\circ}=\frac{\varphi_{\text{rad}}}{\pi} \quad\Longrightarrow\quad \varphi_{\text{rad}}=\alpha^\circ\frac{\pi}{180^\circ}, \qquad \alpha^\circ=\varphi_{\text{rad}}\frac{180^\circ}{\pi}. \]

Funzioni trigonometriche

Considerando la circonferenza unitaria (\(OM=1\)) e un punto \(M\) che individua l’angolo al centro \(\alpha\), con proiezione \(H\) sugli assi:

    \[ \sin\alpha=\frac{MH}{OM}=MH,\qquad \cos\alpha=\frac{OH}{OM}=OH. \]

La tangente è definita come

    \[ \tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}. \]

Seno e coseno variano tra \(-1\) e \(+1\); la tangente è indefinita per \(\alpha=90^\circ+k\cdot180^\circ\).

Valori notevoli


\(\alpha\) \(\sin\alpha\) \(\cos\alpha\) \(\tan\alpha\)
\(0^\circ\) 0 1 0
\(30^\circ\) \(\tfrac{1}{2}\) \(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\) \(\tfrac{1}{\sqrt{3}}\)
\(45^\circ\) \(\tfrac{\sqrt{2}}{2}\) \(\tfrac{\sqrt{2}}{2}\) 1
\(60^\circ\) \(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\) \(\tfrac{1}{2}\) \(\sqrt{3}\)
\(90^\circ\) 1 0 –

Tabella completa 0°–90° (4 decimali):
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Vettori e operazioni

A questo punto possiamo ricavare facilmente le formule risolutive dei triangoli rettangoli.

triangolo

 

Sfruttando quanto detto e utilizzando i simboli della figura, abbiamo per l’angolo x:

sen\gamma = \frac{\text{cateto opposto}}{\text{ipotenusa}} = \frac{c}{a}

\cos\gamma = \frac{\text{cateto adiacente}}{\text{ipotenusa}} = \frac{b}{a}

\tan\gamma = \frac{\text{cateto opposto}}{\text{cateto adiacente}} = \frac{c}{b}

Da cui possiamo ricavare:

c = a·sen γ                                            b = a·cos γ                                         c = b·tg γ

Considerando l’angolo β avremo:

sen\beta = \frac{b}{a}   cos\beta = \frac{c}{a}  tan\beta = \frac{b}{c}

e quindi:

b = a·sen β                                   c = a·cos β                                           b = c·tg β

Osserviamo che nel caso di un triangolo rettangolo per determinarne tutti gli elementi è sufficiente conoscerne due soli, essendo il terzo (l’angolo retto) noto.

L’ultimo argomento da affrontare è quello riguardante i vettori e il calcolo vettoriale.
In fisica le grandezze si possono suddividere in due categorie: grandezze scalari e grandezze vettoriali. Alla prima appartengono grandezze che possono essere definite solo da un numero, come ad esempio il tempo o la temperatura. Alla seconda quelle grandezze che per essere definite completamente abbisognano di un numero, detto intensità o modulo, una direzione, e un verso.
Pensate a un uomo che muove un peso. Sapere con quanta energia (modulo) compie questa operazione non è sufficiente. Occorre infatti, sapere anche in che direzione lo muove (la retta lungo cui avviene il movimento): per esempio se lo sposta orizzontalmente o verticalmente e anche in che verso, alto o basso, destra o sinistra. Possiamo sostituire l’uomo con un vettore rappresentato da una freccia la cui lunghezza è il modulo, la retta su cui giace è la direzione, e il verso è dato dalla punta.
I vettori sono indicati oltre che da una freccia da una lettera in grassetto con un tratto sovrapposto.
Le operazioni sui vettori che interessano di più sono la somma e la differenza.
In figura è riportata la somma vettoriale di due vettori e eseguita con la regola del parallelogramma, che consiste nel tracciare dai vertici dei due vettori le parallele alle loro direzioni. La somma è la diagonale principale del parallelogramma.

vettori

Il calcolo matematico della somma può essere eseguito con relazioni trigonometriche quando è noto l’angolo tra i due vettori.
Noi considereremo in elettrotecnica vettori che generalmente sono perpendicolari tra loro; potremo sfruttare così le relazioni per la risoluzione dei triangoli rettangoli.
La differenza tra i vettori due vettori e può rappresentarsi in figura e sarebbe identificata dall’altra diagonale del parallelogramma. Può comunque essere ricavata con la regola della somma tenendo presente che il vettore – corrisponde al modulo e alla direzione del vettore , ma con verso invertito: ciò equivale a dire pure che il vettore può essere sommato al vettore dopo essere stato ribaltato di un angolo di 180°.


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