Diagrammi – Elementi di Trigonometria – Vettori

Diagrammi – Elementi di Trigonometria – Vettori

Per lo studio delle correnti alternate è utile richiamare alcune nozioni di matematica: funzioni e loro diagrammi cartesiani, elementi essenziali di trigonometria e operazioni con i vettori.

Funzioni e diagrammi cartesiani

Una funzione è una relazione che associa ad ogni valore della variabile indipendente x uno e un solo valore della variabile dipendente y. Si scrive \(\( y = f(x) \)\). Esempi: l’area di un quadrato in funzione del lato; il volume di una sfera in funzione del raggio; la corrente in un circuito resistivo in funzione della tensione applicata.

Il diagramma cartesiano si ottiene fissando due assi perpendicolari (ascisse \(\(x\)\), ordinate \(\(y\)\)) e riportando nel piano le coppie \(\((x,y)\)\). L’unione dei punti genera l’andamento della funzione.

Gradi e radianti

\(
\[
\frac{\alpha^\circ}{180^\circ}=\frac{\varphi_{\text{rad}}}{\pi}
\quad\Longrightarrow\quad
\varphi_{\text{rad}}=\alpha^\circ\frac{\pi}{180^\circ},
\qquad
\alpha^\circ=\varphi_{\text{rad}}\frac{180^\circ}{\pi}.
\]
\)

Funzioni trigonometriche

Considerando la circonferenza unitaria (\(\(OM=1\)\)) e un punto \(\(M\)\) che individua l’angolo al centro \(\(\alpha\)\), con proiezione \(\(H\)\) sugli assi:

\(
\[
\sin\alpha=\frac{MH}{OM}=MH,\qquad
\cos\alpha=\frac{OH}{OM}=OH.
\]
\)

La tangente è definita come

\(
\[
\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}.
\]
\)

Seno e coseno variano tra \(\(-1\)\) e \(\(+1\)\); la tangente è indefinita per \(\(\alpha=90^\circ+k\cdot180^\circ\)\).

Valori notevoli

\(\(\alpha\)\)	\(\(\sin\alpha\)\)	\(\(\cos\alpha\)\)	\(\(\tan\alpha\)\)
\(\(0^\circ\)\)	0	1	0
\(\(30^\circ\)\)	\(\(\tfrac{1}{2}\)\)	\(\(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\)\)	\(\(\tfrac{1}{\sqrt{3}}\)\)
\(\(45^\circ\)\)	\(\(\tfrac{\sqrt{2}}{2}\)\)	\(\(\tfrac{\sqrt{2}}{2}\)\)	1
\(\(60^\circ\)\)	\(\(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\)\)	\(\(\tfrac{1}{2}\)\)	\(\(\sqrt{3}\)\)
\(\(90^\circ\)\)	1	0	–

Tabella completa 0°–90° (4 decimali):
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Vettori e operazioni

A questo punto possiamo ricavare facilmente le formule risolutive dei triangoli rettangoli.

 

Sfruttando quanto detto e utilizzando i simboli della figura, abbiamo per l’angolo x:

\(
sen\gamma = \frac{\text{cateto opposto}}{\text{ipotenusa}} = \frac{c}{a}
\)

\(
\cos\gamma = \frac{\text{cateto adiacente}}{\text{ipotenusa}} = \frac{b}{a}
\)

\(
\tan\gamma = \frac{\text{cateto opposto}}{\text{cateto adiacente}} = \frac{c}{b}
\)

Da cui possiamo ricavare:

c = a·sen γ                                            b = a·cos γ                                         c = b·tg γ

Considerando l’angolo β avremo:

\(sen\beta =  \frac{b}{a}\)   \(cos\beta =  \frac{c}{a}\)  \(tan\beta =  \frac{b}{c}\)

e quindi:

b = a·sen β                                   c = a·cos β                                           b = c·tg β

Osserviamo che nel caso di un triangolo rettangolo per determinarne tutti gli elementi è sufficiente conoscerne due soli, essendo il terzo (l’angolo retto) noto.

L’ultimo argomento da affrontare è quello riguardante i vettori e il calcolo vettoriale.
In fisica le grandezze si possono suddividere in due categorie: grandezze scalari e grandezze vettoriali. Alla prima appartengono grandezze che possono essere definite solo da un numero, come ad esempio il tempo o la temperatura. Alla seconda quelle grandezze che per essere definite completamente abbisognano di un numero, detto intensità o modulo, una direzione, e un verso.
Pensate a un uomo che muove un peso. Sapere con quanta energia (modulo) compie questa operazione non è sufficiente. Occorre infatti, sapere anche in che direzione lo muove (la retta lungo cui avviene il movimento): per esempio se lo sposta orizzontalmente o verticalmente e anche in che verso, alto o basso, destra o sinistra. Possiamo sostituire l’uomo con un vettore rappresentato da una freccia la cui lunghezza è il modulo, la retta su cui giace è la direzione, e il verso è dato dalla punta.
I vettori sono indicati oltre che da una freccia da una lettera in grassetto con un tratto sovrapposto.
Le operazioni sui vettori che interessano di più sono la somma e la differenza.
In figura è riportata la somma vettoriale di due vettori e eseguita con la regola del parallelogramma, che consiste nel tracciare dai vertici dei due vettori le parallele alle loro direzioni. La somma è la diagonale principale del parallelogramma.

Il calcolo matematico della somma può essere eseguito con relazioni trigonometriche quando è noto l’angolo tra i due vettori.
Noi considereremo in elettrotecnica vettori che generalmente sono perpendicolari tra loro; potremo sfruttare così le relazioni per la risoluzione dei triangoli rettangoli.
La differenza tra i vettori due vettori e può rappresentarsi in figura e sarebbe identificata dall’altra diagonale del parallelogramma. Può comunque essere ricavata con la regola della somma tenendo presente che il vettore – corrisponde al modulo e alla direzione del vettore , ma con verso invertito: ciò equivale a dire pure che il vettore può essere sommato al vettore dopo essere stato ribaltato di un angolo di 180°.