Esercizio 1 -

La corrente in un circuito RL raggiunge un terzo del suo valore stazionario in $5 \, \text{s}$ .
Calcola la costante di tempo induttiva $\tau$ .

Soluzione

Dal testo si intuisce che si tratta di un fenomeno di carica con corrente iniziale nell’induttore $i_i = 0$ , regolato dalla legge:

$i_L(t) = i_f - (i_f - i_i) \, e^{- \frac{R}{L} t}$

Poiché $i_i = 0$ , la legge diventa:

$i_L(t) = i_f \left(1 - e^{-t/\tau} \right)$

Al tempo $t = 5 \, \text{s}$ , la corrente vale $\frac{1}{3} i_f$ , quindi:

$\frac{1}{3} i_f = i_f \left(1 - e^{-5/\tau} \right)$

Dividendo ambo i membri per $i_f$ (che è diverso da zero):

$\frac{1}{3} = 1 - e^{-5/\tau}$

$e^{-5/\tau} = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$

$-\frac{5}{\tau} = \ln \left( \frac{2}{3} \right) \quad \Rightarrow \quad \tau = \frac{-5}{\ln \left( \frac{2}{3} \right)}$

$\tau \approx 12{,}3 \, \text{s}$

$\boxed{ \tau \approx 12{,}3 \, \text{s} }$

Esercizio 1