🧮 Esercizi con le Equazioni e i Fattoriali
🔹 Esercizio 10 – Risoluzione dell’equazione
Domanda: Risolvere la seguente equazione:
\((n + 4)! = 4(n + 3)! + 4(n + 2)!\)
✅ Soluzione:
📌 Portiamo l’equazione in una forma in cui il termine comune sia \((n + 2)!\):
\((n + 4)(n + 3)(n + 2)! = 4(n + 3)(n + 2)! + 4(n + 2)!\)
✂️ Dividiamo entrambi i membri per \((n + 2)!\):
\((n + 4)(n + 3) = 4(n + 3) + 4\)
✏️ Svolgiamo i calcoli:
\(n^2 + 3n + 4n + 12 = 4n + 12 + 4\)
\(n^2 + 3n - 4 = 0\)
📐 Risolviamo l’equazione di secondo grado:
\(n = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{-3 \pm 5}{2}\)
\(n = 1\) oppure \(n = -4\)
✔️ Conclusione:
L’unica soluzione accettabile è n = 1.