Esercizio 10 -

Il segnale di ingresso della rete illustrata è una forma d’onda rettangolare simmetrica di ampiezza $E_i = 10\,\text{V}$ con periodo $T = 2\tau_L = 2T_H = 16\,\mu\text{s}$ .
La tensione ai capi dell’induttanza deve avere a regime come valori estremi dell’esponenziale decrescente positivo $V_1 = 6\,\text{V}$ e $V_2 = 3\,\text{V}$ .
Calcolare i valori di $R_1$ ed $L$ nel caso la resistenza di carico sia $R_L = 80\,\text{k}\Omega$ .

soluzione

È consigliato semplificare il circuito con il teorema di Thevenin:

Il circuito equivalente diventa una cella R-L alimentata da $E = \frac{E_i R_L}{R_1 + R_L}$ , con resistenza equivalente:
$R = R_1 \parallel R_L$

Il comportamento dell’induttanza è regolato dalla legge:
$i_L(t) = i_f - (i_f - i_i)\cdot e^{-t/\tau}$

$v_o = E - Ri$

Applicando la legge al primo gradino (da 0 a $E$ ):

$i_L(t) = \frac{E}{R} \left(1 - e^{-t/\tau} \right)$

Quindi:

$v_o(t) = E - R \cdot \frac{E}{R} \left(1 - e^{-t/\tau} \right) = E \cdot e^{-t/\tau}$

Dato che:
$V_1 = v_o(t=0) = E = 6\,\text{V}$

e:
$E = \frac{E_i R_L}{R_1 + R_L} = \frac{10 \cdot 80}{R_1 + 80} \Rightarrow R_1 + 80 = \frac{800}{6} = 133{,}3 \Rightarrow R_1 = 53{,}3\,\text{k}\Omega$

La resistenza equivalente:
$R = \frac{R_1 R_L}{R_1 + R_L} = \frac{53{,}3 \cdot 80}{53{,}3 + 80} = 32\,\text{k}\Omega$

Ora si usa la seconda informazione:
$V_2 = v_o(t=8\,\mu\text{s}) = E \cdot e^{-T/2\tau} = 3\,\text{V}$

da cui:
$e^{-T/2\tau} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \Rightarrow -\frac{T}{2\tau} = \ln\left( \frac{1}{2} \right)$

$\tau = -\frac{T}{2\ln(1/2)} = \frac{16\cdot 10^{-6}}{2\ln(2)} = 11{,}54\,\mu\text{s}$

Infine:
$\tau = \frac{L}{R} \Rightarrow L = \tau \cdot R = 11{,}54 \cdot 10^{-6} \cdot 32 \cdot 10^3 = 0{,}369\,\text{H} \Rightarrow L \approx 0{,}184\,\text{mH}$

Esercizio 10

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