Esercizio 10 -

Vogliamo mantenere sull’asse reale la 𝑉_𝐴𝐵.

$\overline{I} = \overline{I_1} + \overline{I_2} + \overline{I_3} \qquad \overline{I_1} = I_1 \cos\varphi_1 + j I_1 \sin\varphi_1$

$I_1 \cos \varphi_1 = \frac{P_1}{V_{AB}} = \frac{5800}{220} = 26,4\ \ A \qquad I_1 \sin \varphi_1 = \frac{Q_1}{V_{AB}} = \frac{5800}{220} = 26,4\ \, A$

Poiché 𝐼₁ è in ritardo rispetto a 𝑉_𝐴𝐵:

$\overline{I_1} = 26,4 - j26,4\ \ A$

Per la 𝐼₂ , essendo in ritardo di 90°:

$\overline{I_2} = \frac{V_{AB}}{jX_2} = \frac{220}{j10} = -j22\ \ A$

Per la 𝐼₃, percorrendo un’impedenza capacitiva (anticipo di 90°):

$\overline{I_3} = j I_3 \sin\varphi_3 = j \frac{Q_3}{V_{AB}} = j \frac{2400}{220} = j10,9\ \ A$

Totale:

$\overline{I} = 26,4 - j26,4 - j22 + j10,9 = 26,4 - j37,5\ \ A$

In forma polare:

$I = \sqrt{26,4^2 + (-37,5)^2} = 46\ \ A, \qquad \varphi = \arctan\left(\tfrac{-37,5}{26,4}\right) = -54^\circ$

Allineamento con 𝑉_𝐴𝐵:

$\overline{V_{AB}} = V_{AB} \cos\varphi + j V_{AB} \sin\varphi = 220 \cdot 0,57 + j220 \cdot 0,82 = 126 + j179\ \V$

Per 𝑉_𝐵𝐶:

$P_4 = V_{BC} I \cos \varphi_4, \quad Q_4 = V_{BC} I \sin \varphi_4$

$\overline{V_{BC}} = \frac{P_4}{I} - j \frac{Q_4}{I} = \frac{6250}{46} - j\frac{4160}{46} = 136 - j90,5 \ \V$

Modulo e fase:

$V_{BC} = \sqrt{136^2 + 90,5^2} = 163,3 \quad \varphi_4 = \arctan\left(\tfrac{-90,5}{136}\right) = -33^\circ$

Per 𝑉𝐴𝐶:

$\overline{V_{AC}} = \overline{V_{AB}} + \overline{V_{BC}} = (126 + j179) + (136 - j90,5) = 262 + j88,5$

$V_{AC} = \sqrt{262^2 + 88,5^2} = 277 \qquad \varphi = \arctan\left(\tfrac{88.5}{262}\right) = 18^\circ$

Per il ramo BC:

$P_4 = R_4 I^2 \ \Rightarrow \ R_4 = \tfrac{P_4}{I^2} = \tfrac{6250}{46^2} = 2,95 \ \Omega$

$Q_4 = X_4 I^2 \ \Rightarrow \ X_4 = \tfrac{Q_4}{I^2} = \tfrac{4160}{46^2} = 1,96 \ \Omega$

Per 𝐼₁:

$I_1 = \sqrt{26,4^2 + 26,4^2} = 26,4\sqrt{2} A$

$R_1 = \tfrac{P_1}{I_1^2} = \tfrac{5800}{(26,4\sqrt{2})^2} = 2,08 \ \Omega$

Dato che 𝑃₁=𝑄₁, segue:

$X_1 = R_1 = 2,08 \ \Omega$

Infine:

$X_3 = \tfrac{Q_3}{I_3^2} = \tfrac{2400}{10,9^2} = 20,2 \ \Omega$

Esercizio 10

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