Esercizio 10: Soluzione

DiAlfredo Di Fiore

Determinazione delle tre correnti tramite le leggi di Kirchhoff

Utilizzando le leggi di Kirchhoff, si vogliono determinare le tre correnti \(\( I_1, I_2, I_3 \)\) nel circuito seguente:

Dati del problema

\(
\begin{aligned}
E_1 &= 4\,\text{V} \\
E_2 &= 11\,\text{V} \\
E_3 &= 12\,\text{V} \\
R_1 &= 1\,\Omega \\
R_2 &= 2\,\Omega \\
R_3 &= 3\,\Omega
\end{aligned}
\)

Come si nota, le correnti sono già disposte secondo il loro senso più probabile, considerando che una corrente viene erogata sempre dal polo positivo del generatore.

Equazione al nodo A

\(
I_1 = I_2 + I_3
\)

Equazione alla maglia sinistra

\(
\begin{aligned}
E_1 + E_2 &= V_1 + V_2 \\
E_1 + E_2 &= R_1 I_1 + R_2 I_2
\end{aligned}
\)

Equazione alla maglia destra

\(
\begin{aligned}
E_3 - E_2 &= V_3 - V_2 \\
E_3 - E_2 &= R_3 I_3 - R_2 I_2
\end{aligned}
\)

Soluzione del sistema tramite le leggi di Kirchhoff

Si consideri il seguente sistema di equazioni:

\(
\begin{cases}
I_1 = I_2 + I_3 \\
E_1 + E_2 = R_1 I_1 + R_2 I_2 \\
E_3 - E_2 = R_3 I_3 - R_2 I_2
\end{cases}
\)

Espressione delle equazioni con sostituzione di \( I_1 \):

\(
\begin{cases}
E_1 + E_2 = R_1 (I_2 + I_3) + R_2 I_2 \\
E_3 - E_2 = R_3 I_3 - R_2 I_2
\end{cases}
\)

Sviluppando:

\(
\begin{cases}
E_1 + E_2 = R_1 I_2 + R_1 I_3 + R_2 I_2 \\
E_3 - E_2 = R_3 I_3 - R_2 I_2
\end{cases}
\)

Fattorizzando la prima equazione:

\(
E_1 + E_2 = (R_1 + R_2) I_2 + R_1 I_3
\)

Sostituendo i valori:

\(
\begin{cases}
4 + 11 = (1 + 2) I_2 + 1 \cdot I_3 \\
12 - 11 = 3 I_3 - 2 I_2
\end{cases}
\)
\(
\begin{cases}
15 = 3 I_2 + I_3 \\
1 = 3 I_3 - 2 I_2
\end{cases}
\)

Risoluzione del sistema

\(
I_3 = 15 - 3 I_2
\)

Sostituendo nella seconda:

\(
1 = 3(15 - 3 I_2) - 2 I_2 = 45 - 9 I_2 - 2 I_2 = 45 - 11 I_2
\)

\(
11 I_2 = 44 \Rightarrow I_2 = \frac{44}{11} = 4\,\text{A}
\) \(
I_3 = 15 - 3 \cdot 4 = 3\,\text{A}
\) \(
I_1 = I_2 + I_3 = 4 + 3 = 7\,\text{A}
\)

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