Il piano di una spira rettangolare di lati \(L = 8 \, \text{cm}\) e \(L' = 5 \, \text{cm}\) è parallelo ad un campo magnetico di \(B = 0{,}15 \, \text{T}\).
Se nella spira circola una corrente di 10 A:
- che momento meccanico viene esercitato sulla spira?
- quanto vale il momento magnetico della spira?
- quale è la coppia massima ottenibile con la stessa lunghezza totale di filo percorso dalla stessa corrente nello stesso campo?
Esercizio 11: soluzione
Il versore normale alla superficie della spira forma un angolo
\( \theta = 90^\circ \) con il campo magnetico:
\( \tau = (B i L) L' \sin \theta = 0{,}15 \cdot 10 \cdot 0{,}08 \cdot 0{,}05 \cdot \sin 90^\circ = 6 \cdot 10^{-3} \, \text{Nm} \)
Il momento magnetico rettangolare è:
\( M = i S = 10 \cdot 0{,}05 \cdot 0{,}08 = 4 \cdot 10^{-2} \, \text{A} \cdot \text{m}^2 \)
Se si mantiene la stessa lunghezza di filo:
\( L_T = 2 \cdot (8 + 5) = 0{,}26 \, \text{m} \),
si può costruire una spira circolare:
\(
2 \pi R = 0{,}26 \quad \Rightarrow \quad R = \frac{13}{\pi} \cdot 10^{-2} \, \text{m}
\)
\(
S = \pi R^2 = \pi \left( \frac{13}{\pi} \cdot 10^{-2} \right)^2 = \frac{169}{\pi} \cdot 10^{-4} \, \text{m}^2
\)
2 \pi R = 0{,}26 \quad \Rightarrow \quad R = \frac{13}{\pi} \cdot 10^{-2} \, \text{m}
\)
\(
S = \pi R^2 = \pi \left( \frac{13}{\pi} \cdot 10^{-2} \right)^2 = \frac{169}{\pi} \cdot 10^{-4} \, \text{m}^2
\)
Il nuovo momento magnetico diventa:
\( M = i S = 10 \cdot \frac{169}{\pi} \cdot 10^{-4} = 5{,}38 \cdot 10^{-2} \, \text{A} \cdot \text{m}^2 \)
E la coppia massima:
\( \tau = M B \sin \theta = 5{,}38 \cdot 10^{-2} \cdot 0{,}15 \cdot \sin 90^\circ = 8{,}07 \cdot 10^{-3} \, \text{Nm} \)