Esercizio 15 -

Nel circuito disegnato tutti i tronchi hanno la stessa sezione con:

$l = 10\ \text{cm}$
$S = 4\ \text{cm}^2$
$\mu = 1000\,\mu_0$
$\mu_0 = 4\pi \cdot 10^{-7}\ \text{H/m}$
$N = 100$
$I = 1\ \text{A}$
$l_0 = 1\ \text{mm}$

Determinare i flussi $\phi_1$ e $\phi_2$ e poi calcolare l’induttanza della bobina.

soluzione

La riluttanza di un generico tratto è:

$\mathfrak{R} = \mathfrak{R}_1 = \frac{l}{\mu S} = 198{,}943\ \text{H}^{-1}$

Per l’unico tratto col traferro si ha:

$\mathfrak{R}_2 = \frac{l - l_0}{\mu S} + \frac{l_0}{\mu_0 S} = 2{,}186 \cdot 10^{6}\ \text{H}^{-1}$

Assimiliamo le riluttanze dei vari tratti del circuito con delle resistenze e, con un procedimento analogo a quello usato per le reti elettriche:

Si ha:

$\mathfrak{R}_{25} = \mathfrak{R}_2 + 2\mathfrak{R} = 2{,}584 \cdot 10^{6}\ \text{H}^{-1}$

Eseguiamo il parallelo:

$\mathfrak{R}_p = \frac{\mathfrak{R}_{25} \cdot \mathfrak{R}}{\mathfrak{R}_{25} + \mathfrak{R}} = 184{,}723\ \text{H}^{-1}$

La riluttanza totale è:

$\mathfrak{R}_T = \mathfrak{R}_p + 3\mathfrak{R} = 781{,}554\ \text{H}^{-1}$

Flusso totale:

$\phi = \frac{NI}{\mathfrak{R}_T} = 127{,}95\ \mu\text{Wb}$

Come nel caso delle resistenze in parallelo (partitore di corrente):

$\phi_1 = \frac{\mathfrak{R}_2}{\mathfrak{R}_1 + \mathfrak{R}_2} \ \phi = 117{,}28\ \mu\text{Wb}$
$\phi_2 = \frac{\mathfrak{R}_1}{\mathfrak{R}_1 + \mathfrak{R}_2} \ \phi = 10{,}67\ \mu\text{Wb}$

Infine, per l’induttanza:

$LI = N\phi \quad\Rightarrow\quad L = \frac{N\phi}{I} = \frac{100 \cdot 127{,}95 \cdot 10^{-6}}{1} = 12{,}7\ \text{mH}$

Esercizio 15

soluzione

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