Una particella di massa \(m\) e carica \(q\) si muove con velocità \(\vec{v}\) perpendicolare a un campo magnetico uniforme \(\vec{B}\).
Esprimere in funzione del tempo:
- le componenti della velocità,
- le coordinate della particella rispetto al centro della traiettoria.
Ripetere il problema nel caso in cui la velocità formi un angolo \(\theta\) con \(\vec{B}\).
Esercizio 16: soluzione
1. Caso con \(\vec{v} \perp \vec{B}\):
L’equazione del moto è:
\(m \frac{d\vec{v}}{dt} = q \vec{v} \times \vec{B}\)
Ma se consideriamo solo il modulo della velocità (e \(\vec{v} \perp \vec{B}\)), allora:
\(m \frac{dv}{dt} = qvB\)
Separando le variabili e integrando:
\(m \frac{dv}{v} = qB \, dt \quad \Rightarrow \quad \int \frac{dv}{v} = \int \frac{qB}{m} dt\)
\(\ln v = \frac{qB}{m} t + C_1 \quad \Rightarrow \quad v = C \cdot \exp\left(\frac{qB}{m} t\right)\)
2. Caso con
\(\vec{v}\) che forma angolo \(\theta\) con \(\vec{B}\):
La forza magnetica è:
\(F = qvB \sin\theta\).
Applicando gli stessi passaggi:
\(m \frac{dv}{dt} = qvB \sin\theta\)
Separando e integrando:
\(\ln v = \frac{qB \sin\theta}{m} t + C_2 \quad \Rightarrow \quad v = C \cdot \exp\left( \frac{qB}{m} \sin\theta \cdot t \right)\)
Conclusione:
la velocità cresce esponenzialmente nel tempo nei due modelli proposti se si trascurano gli effetti del moto curvilineo (solo nel caso teorico con accelerazione costante lungo la direzione ortogonale).