Esercizio 16 -

Una particella di massa $m$ e carica $q$ si muove con velocità $\vec{v}$ perpendicolare a un campo magnetico uniforme $\vec{B}$ .
Esprimere in funzione del tempo:

le componenti della velocità,
le coordinate della particella rispetto al centro della traiettoria.

Ripetere il problema nel caso in cui la velocità formi un angolo $\theta$ con $\vec{B}$ .

Esercizio 16: soluzione

1. Caso con $\vec{v} \perp \vec{B}$ :

L’equazione del moto è:

$m \frac{d\vec{v}}{dt} = q \vec{v} \times \vec{B}$

Ma se consideriamo solo il modulo della velocità (e $\vec{v} \perp \vec{B}$ ), allora:

$m \frac{dv}{dt} = qvB$

Separando le variabili e integrando:

$m \frac{dv}{v} = qB \, dt \quad \Rightarrow \quad \int \frac{dv}{v} = \int \frac{qB}{m} dt$
$\ln v = \frac{qB}{m} t + C_1 \quad \Rightarrow \quad v = C \cdot \exp\left(\frac{qB}{m} t\right)$

2. Caso con

$\vec{v}$ che forma angolo $\theta$ con $\vec{B}$ :

La forza magnetica è:

$F = qvB \sin\theta$

.
Applicando gli stessi passaggi:

$m \frac{dv}{dt} = qvB \sin\theta$

Separando e integrando:

$\ln v = \frac{qB \sin\theta}{m} t + C_2 \quad \Rightarrow \quad v = C \cdot \exp\left( \frac{qB}{m} \sin\theta \cdot t \right)$

Conclusione:
la velocità cresce esponenzialmente nel tempo nei due modelli proposti se si trascurano gli effetti del moto curvilineo (solo nel caso teorico con accelerazione costante lungo la direzione ortogonale).

Esercizio 16

Esercizio 16: soluzione

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