Esercizio 19: Soluzione

Condensatore scollegato: variazione di tensione, energia e lavoro

I piatti di un condensatore in aria, di area 8{,}5 \, \text{cm}^2 e distanza 3 \, \text{mm}
vengono caricati con una differenza di potenziale di 6 \, \text{V} .
Dopo aver scollegato la batteria, si allontanano i piatti fino ad una distanza di 8 \, \text{mm} .
Trovare:

(a) la differenza di potenziale finale tra i piatti;
(b) lā€™energia immagazzinata allā€™inizio e alla fine;
(c) il lavoro richiesto per allontanare i piatti.

Soluzione

Dati noti:

d_i = 3 \cdot 10^{-3} \, \text{m}, \quad d_f = 8 \cdot 10^{-3} \, \text{m}, \quad V_i = 6 \, \text{V}, \quad S = 8{,}5 \cdot 10^{-4} \, \text{m}^2

(a) Tensione finale tra i piatti

C = \varepsilon_0 \frac{S}{d_i} \quad \Rightarrow \quad Q = C V_i = \varepsilon_0 \frac{S}{d_i} V_i

Dopo lā€™allontanamento:

V_f = \frac{Q}{C} = \frac{\varepsilon_0 \frac{S}{d_i} V_i}{\varepsilon_0 \frac{S}{d_f}} = V_i \cdot \frac{d_f}{d_i} = 6 \cdot \frac{8}{3} = 16 \, \text{V}

(b) Energia immagazzinata allā€™inizio e alla fine

Energia iniziale:

U_i = \frac{1}{2} C V_i^2 = \frac{1}{2} \cdot \varepsilon_0 \frac{S}{d_i} V_i^2 = \frac{8{,}85 \cdot 10^{-12} \cdot 8{,}5 \cdot 10^{-4} \cdot 6^2}{2 \cdot 3 \cdot 10^{-3}} = 4{,}51 \cdot 10^{-11} \, \text{J}

Energia finale:

U_f = \frac{1}{2} \cdot \varepsilon_0 \frac{S}{d_f} V_f^2 = \frac{8{,}85 \cdot 10^{-12} \cdot 8{,}5 \cdot 10^{-4} \cdot 16^2}{2 \cdot 8 \cdot 10^{-3}} = 1{,}2 \cdot 10^{-10} \, \text{J}

(c) Lavoro richiesto per allontanare i piatti

L = U_f - U_i = 1{,}2 \cdot 10^{-10} - 4{,}51 \cdot 10^{-11} = 7{,}52 \cdot 10^{-11} \, \text{J}

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