Esercizio 21 -

Nel circuito disegnato si ha $r = 0{,}2\,\text{m}$ . La zona semicircolare è interessata da un campo magnetico uniforme diretto verso l’alto in direzione dell’osservatore della pagina ed è variabile nel tempo con legge:

$B(t) = 4t^2 + 2t + 3$

Una batteria di valore $E = 2\,\text{V}$ è collegata al circuito, mentre la resistenza dello stesso vale $R = 2\,\Omega$ . Trovare il valore della corrente all’istante $t = 10\,\text{s}$ dopo la chiusura dell’interruttore.

Soluzione

1. Calcolo della f.e.m. indotta

Il modulo della f.e.m. indotta si calcola con:

$|V| = \left| \frac{d\phi}{dt} \right| = \left| \frac{d(BS)}{dt} \right| = S \cdot \frac{dB}{dt}$

La superficie interessata dal campo magnetico è un semicircolo:

$S = \frac{\pi r^2}{2}$

Derivando la funzione $B(t)$ , otteniamo:

$\frac{dB}{dt} = \frac{d}{dt}(4t^2 + 2t + 3) = 8t + 2$

Pertanto, la f.e.m. indotta è:

$|V| = \frac{\pi r^2}{2} \cdot (8t + 2)$

All’istante $t = 10\,\text{s}$ :

$|V| = \frac{\pi \cdot 0{,}2^2}{2} \cdot (8 \cdot 10 + 2) = \frac{\pi \cdot 0{,}04}{2} \cdot 82 = 5{,}2\,\text{V}$

2. Determinazione del verso della f.e.m. indotta

Il flusso magnetico attraverso il circuito è crescente e uscente dalla pagina. Il campo magnetico indotto si oppone a tale incremento, dunque deve essere diretto entrante nella pagina.

Applicando la regola della mano destra, si deduce che la f.e.m. indotta $V_{\text{ind}}$ è in senso opposto alla batteria $E$ .

3. Calcolo della corrente nel circuito

La corrente totale si ottiene dalla differenza tra f.e.m. indotta e batteria, divisa per la resistenza:

$i = \frac{V - E}{R} = \frac{5{,}2 - 2}{2} = 1{,}6\,\text{A}$

Esercizio 21

Soluzione

Articoli correlati

Esercizio 33

Esercizio 32

Esercizio 31