Esercizio 26

Esercizio 26

Nel disegno è riportata una vista frontale di due lunghi fili metallici, paralleli tra loro e perpendicolari al piano xy; al loro interno circola la stessa corrente ma con senso opposto. Schematizzare con dei vettori il campo risultante nel punto P.
Ottenere l’espressione del modulo di B in un qualsiasi punto dell’asse x in funzione della coordinata x del punto.

Soluzione

La situazione può essere meglio specificata dal seguente disegno schematico.

\( \vec{B}_1 = \frac{\mu_0 I}{2\pi d} (\cos\theta \, \hat{i} + \sin\theta \, \hat{j}) \) \( d = \sqrt{a^2 + x^2} \) \( \sin\theta = \frac{x}{\sqrt{a^2 + x^2}}, \quad \cos\theta = \frac{a}{\sqrt{a^2 + x^2}} \)

Da cui:
\( \vec{B}_1 = \frac{\mu_0 I}{2\pi (a^2 + x^2)} (a \, \hat{i} + x \, \hat{j}) \)

Per simmetria, il campo \( \vec{B}_2 \) sarà:
\( \vec{B}_2 = \frac{\mu_0 I}{2\pi (a^2 + x^2)} (a \, \hat{i} - x \, \hat{j}) \)

La risultante sarà:
\( \vec{B}_T = \vec{B}_1 + \vec{B}_2 = \frac{\mu_0 I}{2\pi (a^2 + x^2)} \big[(a+a) \, \hat{i} + (x - x) \, \hat{j} \big] \)

Quindi:
\( \vec{B}_T = \frac{a \mu_0 I}{\pi (a^2 + x^2)} \, \hat{i} \)