Mar. Dic 16th, 2025

Esercizio 3

Un solenoide con induttanza $L = 6{,}3 \, \mu\text{H}$ viene collegato in serie ad una resistenza $R = 1{,}2 \, \text{k}\Omega$ .
Se si connette una batteria di $E = 14 \, \text{V}$ , quanto tempo ci vuole affinché la corrente attraverso la resistenza raggiunga l’80% del suo valore finale?
Quale sarà la corrente che passa attraverso la resistenza al tempo $t = \tau$ ?

Soluzione

Si tratta di un processo di carica regolato dalla legge:

$i(t) = \frac{E}{R} \left( 1 - e^{-t/\tau} \right) \quad \text{con} \quad \tau = \frac{L}{R}$

Dove la corrente $i$ tende asintoticamente al valore finale:

$\frac{E}{R}$

Quando la corrente sarà all’80% del valore finale, avremo:

$0{,}8 = 1 - e^{-t/\tau} \quad \Rightarrow \quad e^{-t/\tau} = 0{,}2$

$-\frac{t}{\tau} = \ln(0{,}2) \quad \Rightarrow \quad t = -\tau \ln(0{,}2)$

Calcoliamo $\tau$ :

$\tau = \frac{L}{R} = \frac{6{,}3 \cdot 10^{-6}}{1{,}2 \cdot 10^3} = 5{,}25 \cdot 10^{-9} \, \text{s}$

$t = -\tau \ln(0{,}2) = 5{,}25 \cdot 10^{-9} \cdot \ln(5) = 8{,}45 \cdot 10^{-9} \, \text{s}$

Quando $t = \tau$ , la corrente sarà:

$i = \frac{E}{R} \left( 1 - e^{-1} \right) = \frac{14}{1{,}2 \cdot 10^3} \left( 1 - \frac{1}{e} \right) \approx 7{,}37 \cdot 10^{-3} \, \text{A}$

$i(\tau) = 7{,}37 \, \text{mA}$

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