Esercizio 3: Soluzione

\text{Utilizzando il p.s.e., trovare la corrente } I_3

\begin{aligned} R_1 = R_3 &= 1\,\Omega \\ R_2 = R_4 &= 2\,\Omega \\ E_1 &= 6\,\text{V} \\ E_2 &= 3\,\text{V} \\ I_3 &= ? \end{aligned}

Caso 1: è in funzione solo il generatore E1

R_p = R_3 \parallel R_2 \parallel R_4 = \frac{1}{\frac{1}{R_3} + \frac{1}{R_4} + \frac{1}{R_2}} = \frac{1}{1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}} = \frac{1}{2}\,\Omega

\text{per la regola del partitore:} \quad V_{AB} = \frac{E_1 R_p}{R_1 + R_p} = \frac{6 \cdot \frac{1}{2}}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{3}{\frac{3}{2}} = 2\,\text{V}

\text{poi per la legge di Ohm:} \quad I_3' = \frac{V_{AB}}{R_3} = \frac{2}{1} = 2\;A

Caso 2: è in funzione solo il generatore E2

R_p = R_3 \parallel R_1 \parallel R_4 = \frac{1}{\frac{1}{R_3} + \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_4}} = \frac{1}{1 + 1 + \frac{1}{2}} = \frac{2}{5}\,\Omega

\text{per la regola del partitore:} \quad V_{AB} = \frac{E_2 R_p}{R_2 + R_p} = \frac{3 \cdot \frac{2}{5}}{2 + \frac{2}{5}} = \frac{6/5}{12/5} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}\,\text{V}

I_3'' = \frac{V_{AB}}{R_3} = \frac{1/2}{1} = \frac{1}{2}\;A

Conclusione con p.s.e.

I_3 = I_3' + I_3'' = 2 + \frac{1}{2} = 2{,}5\;A

Verifica con il teorema di Millmann

V_{AB} = \frac{\sum \frac{E_i}{R_i}}{\sum \frac{1}{R_i}} = \frac{\frac{6}{1} + \frac{3}{2} + \frac{0}{1} + \frac{0}{2}}{\frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{1} + \frac{1}{2}} = \frac{6 + \frac{3}{2}}{3} = \frac{\frac{15}{2}}{3} = \frac{15}{6} = 2{,}5\;\text{V}

Legge di Ohm finale

I_3 = \frac{V_{AB}}{R_3} = \frac{15/6}{1} = \frac{15}{6} = 2{,}5\;A

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