Esercizio 30
Un lungo filo conduttore piegato a forcina forma un semicerchio di raggio r = 5 mm ed è percorso da una corrente i = 10 A.
Il punto Q è a metà strada tra le due sezioni diritte; esso è così distante dal semicerchio che ogni sezione diritta può essere approssimata come un filo infinito.
Quali sono l’intensità e la direzione (rispetto al piano) del campo magnetico in P (al centro del semicerchio) ed in Q?
Soluzione
Partendo dalla formula di Ampère-Laplace:
\( \vec{B} = \frac{\mu_0 i}{4\pi} \int \frac{d\vec{l} \times \vec{u}_r}{r^2} \)Nel caso del semicerchio:
\( d\vec{l} = r \, d\theta \), quindi:
\( \vec{B} = \frac{\mu_0 i}{4 \pi r} \int_0^{\pi} d\theta = \frac{\mu_0 i \pi}{4 \pi r} = \frac{\mu_0 i}{4r} \)
Contributi nel punto P:
- Dal semicerchio: \( B = \frac{\mu_0 i}{4r} \)
- Dalla semiretta di andata: \( B = \frac{\mu_0 i}{2\pi r} \)
- Dalla semiretta di ritorno: \( B = \frac{\mu_0 i}{2\pi r} \)
Campo totale in \( P \):
\( B = \frac{\mu_0 i}{4r} + 2 \cdot \frac{\mu_0 i}{2\pi r} = \frac{\mu_0 i}{2r} \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{\pi} \right) \)
Inserendo i dati:
\( B = \frac{4\pi \cdot 10^{-7} \cdot 10}{2 \cdot 0{,}005} \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{\pi} \right) = 10^{-3} \, \text{T} \)Nel punto Q:
Si trova molto distante dal semicerchio, possiamo considerarlo sotto l’influenza di due fili infiniti:
\( B = 2 \cdot \frac{\mu_0 i}{2\pi r} = \frac{\mu_0 i}{\pi r} \) \( B = \frac{4\pi \cdot 10^{-7} \cdot 10}{\pi \cdot 0{,}005} = 8 \cdot 10^{-4} \, \text{T} \)In entrambi i casi, la direzione del campo è uscente dal piano verso l’alto (verso l’osservatore), secondo la regola della mano destra.