Esercizio 4

Nel circuito disegnato si ha:

  • E = 100 \, \text{V}
  • R_1 = 10 \, \Omega
  • R_2 = 20 \, \Omega
  • R_3 = 30 \, \Omega
  • L = 2 \, \text{H}

Determinare il valore di:

a) i_1 ed i_2 immediatamente dopo la chiusura del circuito;
b) i_1 ed i_2 molto tempo dopo, a regime;
c) i_1 ed i_2 immediatamente dopo lā€™apertura del circuito;
d) i_1 ed i_2 molto tempo dopo la riapertura.

 

a) Subito dopo la chiusura del circuito:

Lā€™induttore si comporta come un circuito aperto ā†’ i_3 = 0

Il circuito ridotto contiene solo R_1 e R_2 in serie:

i_1 = i_2 = \frac{E}{R_1 + R_2} = \frac{100}{10 + 20} = 3{,}3 \, \text{A}

b) Molto tempo dopo la chiusura (regime):

Lā€™induttore si comporta come un cortocircuito ā†’ sostituibile con un filo.

R_{23} = R_2 \parallel R_3 = \frac{R_2 R_3}{R_2 + R_3} = \frac{20 \cdot 30}{20 + 30} = 12 \, \Omega

Corrente totale:
i_1 = \frac{E}{R_1 + R_{23}} = \frac{100}{10 + 12} = 4{,}55 \, \text{A}

Tensione ai capi di R_2, R_3 :
v_{AB} = E \cdot \frac{R_{23}}{R_1 + R_{23}} = 100 \cdot \frac{12}{22} = 54{,}5 \, \text{V}

i_2 = \frac{v_{AB}}{R_2} = \frac{54{,}5}{20} = 2{,}73 \, \text{A}

i_3 = i_1 - i_2 = 4{,}55 - 2{,}73 = 1{,}82 \, \text{A}

c) Immediatamente dopo lā€™apertura dellā€™interruttore T:

i_1 = 0, \quad i_2 = -i_3 = -1{,}82 \, \text{A} (stesso valore, verso opposto)

La corrente circola ancora nella maglia R_2 - R_3 - L , con andamento esponenziale decrescente:

i(t) = i_3 \, e^{-t / \tau} \quad \text{con} \quad \tau = \frac{L}{R_2 + R_3} = \frac{2}{50} = 0{,}04 \, \text{s}

d) Molto tempo dopo la riapertura:

La corrente i_3 si annulla completamente ā†’ i_2 = i_3 = 0

\boxed{ i_1 = i_2 = 0 }

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