Esercizio 5

Effettuare il rapporto tra le seguenti due sinusoidi

v(t) = 200 \sin\!\left(314t + \tfrac{\pi}{12}\right)

i(t) = 4 \sin\!\left(314t - \tfrac{\pi}{6}\right)

Esercizio 5 : soluzione

Premesso che \tfrac{\pi}{6} = 30^\circ \quad \Rightarrow \quad \tfrac{\pi}{12} = 15^\circ

|V| = 200 \quad \angle V = 15^\circ

|I| = 4 \quad \angle I = -30^\circ

Se eseguiamo il rapporto con la forma polare

\tilde{Z} = \dfrac{\tilde{V}}{\tilde{I}} = \dfrac{200 \angle 15^\circ}{4 \angle -30^\circ} = \left(\tfrac{200}{4}\right)\angle(15+30) = 50 \angle 45^\circ

In forma binomiale avremmo avuto

\tilde{V} = 200(\cos 15^\circ + j \sin 15^\circ) = 200(0,96 + j0,25) = 193,6 + j51,7

\tilde{I} = 4(\cos -30^\circ + j \sin -30^\circ) = 4(0,86 - j0,5) = 3,4 - j2

\tilde{Z} = \dfrac{\tilde{V}}{\tilde{I}} = \dfrac{193,6 + j51,7}{3,4 - j2}

= \dfrac{(193,6 + j51,7)(3,4 + j2)}{(3,4 - j2)(3,4 + j2)}

= \dfrac{658,2 + j387,2 + j175,7 - 103,4}{3,4^2 + 2^2} = \dfrac{554,8 + j563}{15,5}

\tilde{Z} = 35,8 + j36,3

notiamo che il modulo di Z vale

|Z| = \sqrt{35,8^2 + 36,3^2} = 51

\angle Z = \operatorname{atg}\!\left(\tfrac{36,3}{35,8}\right) = 45,4^\circ

Abbiamo perso qualche decimale per strada, comunque, i risultati ottenuti con la forma binomiale approssimano quelli ottenuti con la forma polare; quest’ultima è più precisa e semplice da eseguire quando l’operazione da fare è quella di divisione. Nelle operazioni di somma e di differenza, invece, è consigliabile usare la forma binomiale.

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