V_{AB} = \frac{ I_0 + \frac{E_1}{R_1} - \frac{E_2}{R_2} }{ \frac{1}{\infty} + \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} } = \frac{3 + 1 - \frac{2}{3}}{0 + 1 + \frac{1}{3}} = \frac{4 - \frac{2}{3}}{1 + \frac{1}{3}} = \frac{5}{2}\ V
\)
Eseguendo la legge di Kirchhoff al ramo di \(\( R_1 \)\) ed \(\( E_1 \)\):
V_{AB} = E_1 + V_1 \quad \Rightarrow \quad V_1 = V_{AB} - E_1 \quad \Rightarrow \quad R_1 I_1 = V_{AB} - E_1
\) \(
I_1 = \frac{V_{AB} - E_1}{R_1} = \frac{5}{2} - 1 = \frac{3}{2}\ V
\)
Eseguendo la legge di Kirchhoff al ramo di \(\( R_2 \) \) ed \(\( E_2 \)\):
\) \(
I_2 = \frac{V_{AB} + E_2}{R_2} = \frac{ \frac{5}{2} + 2 }{3} = \frac{9/2}{3} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}\ A
\)
Eseguendo la prima legge di Kirchhoff al nodo A:
\(I_1 + I_2 = \frac{3}{2} + \frac{3}{2} = \frac{6}{2} = 3 = I_0
\)
La I₀ risulta verificata.
Verifico la \(\( I_1 \)\) col teorema di Thevenin; riscrivo il circuito (per comodità) e poi stacco il carico, in questo caso costituito dalla serie \(\( R_1 \)-\( E_1 \)\).
La Tensione a vuoto misurata ai capi dei morsetti AB diventerà il generatore equivalente.
In tali condizioni l’unica corrente che può percorrere la \(\( R_2 \)\) è la \(\( I_0 \)\) stessa.
\(V_{AB} = V_2 - E_2 \quad \Rightarrow \quad V_{AB} = I_0 R_2 - E_2
\) \(
V_{AB} = 3 \times 3 - 2 = 7V = E_{EQ}
\)
Per il calcolo della \(\( R_{EQ} \)\), dobbiamo cortocircuitare i generatori di tensione e aprire i generatori di corrente.
In tali condizioni dobbiamo valutare la resistenza che si vede ai capi dei morsetti AB. Quindi:
R_{EQ} = R_2 = 3\,\Omega
\)
A questo punto, ai capi del circuito equivalente Thevenin, riagganciamo il carico precedentemente escluso.
L’unica corrente circolante è appunto la \(\( I_1 \)\), data da:
\(I_1 = \frac{E_{EQ} - E_1}{R_{EQ} + R_1} = \frac{7 - 1}{3 + 1} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}\ A
\)
Come ottenuto col teorema di Millman.
Verifica della I₂ col principio di sovrapposizione degli effetti
Nel primo caso faccio funzionare solo il generatore \(\( I_0 \)\); questa corrente viene convogliata nel parallelo \(\( R_P \)\):
R_P = R_1 \parallel R_2 = \frac{1 \times 3}{1 + 3} = \frac{3}{4}\ \Omega
\)
La tensione \(\( V_P \)\) ai capi del parallelo sarà:
\(V_P = R_P I_0 = \frac{3}{4} \times 3 = \frac{9}{4}\ V
\)
Quindi:
\(I'_2 = \frac{V_P}{R_2} = \frac{9/4}{3} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4}\ A
\)
Nel secondo caso, facciamo funzionare solo il generatore \(\( E_1 \)\); in questo caso \(\( E_2 \)\) è cortocircuitato ed il generatore di corrente \(\( I_0 \) \) deve essere aperto.
I''_2 = \frac{E_1}{R_1 + R_2} = \frac{1}{1 + 3} = \frac{1}{4}\ A
\)
Nel terzo caso, facciamo funzionare solo il generatore \(\( E_2 \)\); \(\( E_1 \)\) in questo caso è cortocircuitato ed il generatore di corrente \(\( I_0 \)\) deve essere aperto.
I'''_2 = \frac{E_2}{R_1 + R_2} = \frac{2}{1 + 3} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\ A
\)
Tutte e tre le correnti parziali trovate hanno come verso di percorrenza lo stesso della \(\( I_2 \)\) indicato nel circuito originario.
Esse sono quindi da considerare tutte algebraicamente positive.
I_2 = I'_2 + I''_2 + I'''_2 = \frac{3}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{2} = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}\ A
\)
Come trovato col teorema di Millman.