Dati
- \( E = 30\,\text{V} \)
- \( R_1 = 10\,\text{k}\Omega \)
- \( R_2 = 20\,\text{k}\Omega \)
- \( V_{AO} = 11\,\text{V} \)
Situazione con tasto T aperto
La corrente del generatore percorre solo \( R_1 + R_2 \). Applichiamo la legge di Ohm:
\(I = \frac{E}{R_1 + R_2} = \frac{20}{3 + 7} = \frac{20}{10} = 2\,\text{mA}
\) \(
V_{AO} = R_2 \cdot I = 7 \cdot 2 = 14\,\text{V}
\)
Situazione con tasto T chiuso
Calcolo analitico di \( R_p \) e \( R_3 \)
Per la regola del partitore di tensione:
\(V_{AO} = \frac{R_p \cdot E}{R_1 + R_p}
\Rightarrow 11 = \frac{20 \cdot R_p}{3 + R_p}
\) \(
11(3 + R_p) = 20 R_p \Rightarrow 33 + 11 R_p = 20 R_p
\) \(
33 = 20 R_p - 11 R_p \Rightarrow 33 = 9 R_p \Rightarrow R_p = \frac{33}{9} = \frac{11}{3}\,\text{k}\Omega
\)
Espressione del parallelo \( R_p = \frac{R_2 R_3}{R_2 + R_3} \)
\(\frac{11}{3} = \frac{7 R_3}{7 + R_3}
\) \(
11(7 + R_3) = 21 R_3 \Rightarrow 77 + 11 R_3 = 21 R_3
\) \(
77 = 10 R_3 \Rightarrow R_3 = \frac{77}{10} = \boxed{7{,}7\,\text{k}\Omega}
\)
La tensione al punto A scende di 3 V, quindi:
\(V_{AO} = 11\,\text{V}
\)
Resistenza equivalente \( R_p \) tra \( R_2 \) e \( R_3 \)
\(R_p = \frac{R_2 R_3}{R_2 + R_3}
\)
Applichiamo la formula del partitore di tensione:
\(V_{AO} = \frac{R_p E}{R_1 + R_p}
\)
Sostituiamo i dati:
\(11 = \frac{R_p \cdot 20}{3 + R_p}
\) \(
11(3 + R_p) = 20 R_p \Rightarrow 33 + 11 R_p = 20 R_p
\) \(
33 = 9 R_p \Rightarrow R_p = \frac{33}{9} = 3{,}67\,\text{k}\Omega
\)
Ricaviamo \( R_3 \) dalla formula del parallelo
\(\frac{1}{R_p} = \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3} \Rightarrow \frac{1}{R_3} = \frac{1}{R_p} - \frac{1}{R_2}
\) \(
\frac{1}{R_3} = \frac{1}{3{,}67} - \frac{1}{7} \approx 0{,}272 - 0{,}143 = 0{,}129
\) \(
R_3 \approx \frac{1}{0{,}129} \approx \boxed{7{,}75\,\text{k}\Omega}
\)
Metodo alternativo per calcolare \( R_p \)
Poiché la resistenza \( R_1 \) è tra le due d.d.p. \(\( V_{AO} \) ed \( E \)\), possiamo scrivere:
0 = V_{AO} + V_I - E \Rightarrow E - V_{AO} = R_1 \cdot I
\)
Ricaviamo la corrente \( I \):
\(I = \frac{E - V_{AO}}{R_1} = \frac{20 - 11}{3} = \frac{9}{3} = 3\,\text{mA}
\)
Questa è la corrente che attraversa la resistenza \( R_p \). Allora, per la legge di Ohm:
\(V_{AO} = R_p \cdot I \Rightarrow R_p = \frac{V_{AO}}{I} = \frac{11}{3} = \boxed{3{,}67\,\text{k}\Omega}
\)
Come già trovato nel metodo precedente.