Esercizio 7: Soluzione

Dati

  • E = 30\,\text{V}
  • R_1 = 10\,\text{k}\Omega
  • R_2 = 20\,\text{k}\Omega
  • V_{AO} = 11\,\text{V}

 

Situazione con tasto T aperto

La corrente del generatore percorre solo R_1 + R_2 . Applichiamo la legge di Ohm:

I = \frac{E}{R_1 + R_2} = \frac{20}{3 + 7} = \frac{20}{10} = 2\,\text{mA}

V_{AO} = R_2 \cdot I = 7 \cdot 2 = 14\,\text{V}

Situazione con tasto T chiuso

Calcolo analitico di R_p e R_3

Per la regola del partitore di tensione:

V_{AO} = \frac{R_p \cdot E}{R_1 + R_p} \Rightarrow 11 = \frac{20 \cdot R_p}{3 + R_p}

11(3 + R_p) = 20 R_p \Rightarrow 33 + 11 R_p = 20 R_p

33 = 20 R_p - 11 R_p \Rightarrow 33 = 9 R_p \Rightarrow R_p = \frac{33}{9} = \frac{11}{3}\,\text{k}\Omega

Espressione del parallelo R_p = \frac{R_2 R_3}{R_2 + R_3}

\frac{11}{3} = \frac{7 R_3}{7 + R_3}

11(7 + R_3) = 21 R_3 \Rightarrow 77 + 11 R_3 = 21 R_3

77 = 10 R_3 \Rightarrow R_3 = \frac{77}{10} = \boxed{7{,}7\,\text{k}\Omega}

La tensione al punto A scende di 3 V, quindi:

V_{AO} = 11\,\text{V}

Resistenza equivalente R_p tra R_2 e R_3

R_p = \frac{R_2 R_3}{R_2 + R_3}

Applichiamo la formula del partitore di tensione:

V_{AO} = \frac{R_p E}{R_1 + R_p}

Sostituiamo i dati:

11 = \frac{R_p \cdot 20}{3 + R_p}

11(3 + R_p) = 20 R_p \Rightarrow 33 + 11 R_p = 20 R_p

33 = 9 R_p \Rightarrow R_p = \frac{33}{9} = 3{,}67\,\text{k}\Omega

Ricaviamo R_3 dalla formula del parallelo

\frac{1}{R_p} = \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3} \Rightarrow \frac{1}{R_3} = \frac{1}{R_p} - \frac{1}{R_2}

\frac{1}{R_3} = \frac{1}{3{,}67} - \frac{1}{7} \approx 0{,}272 - 0{,}143 = 0{,}129

R_3 \approx \frac{1}{0{,}129} \approx \boxed{7{,}75\,\text{k}\Omega}

Metodo alternativo per calcolare R_p

Poiché la resistenza R_1 è tra le due d.d.p. \( V_{AO} \) ed \( E \), possiamo scrivere:

0 = V_{AO} + V_I - E \Rightarrow E - V_{AO} = R_1 \cdot I

Ricaviamo la corrente I :

I = \frac{E - V_{AO}}{R_1} = \frac{20 - 11}{3} = \frac{9}{3} = 3\,\text{mA}

Questa è la corrente che attraversa la resistenza R_p . Allora, per la legge di Ohm:

V_{AO} = R_p \cdot I \Rightarrow R_p = \frac{V_{AO}}{I} = \frac{11}{3} = \boxed{3{,}67\,\text{k}\Omega}

Come già trovato nel metodo precedente.

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