- \(E_1 = 100 \sin(10^{4} t)\ \text{V}\)
- \(R = 5\,\text{k}\Omega,\quad R_1 = 12\,\text{k}\Omega,\quad R_2 = 8\,\text{k}\Omega,\quad L = 1\,\text{H}.\)
Soluzione
Decidiamo di semplificare la parte del circuito a monte del taglio effettuato.
Reattanza induttiva:
\(\overline{X_L}=j\omega L=j\,10^{4}\cdot 1=j\,10^{4}\ \Omega = j\,10\ \text{k}\Omega.\)A vuoto la tensione vq vale per la regola del partitore:
\(v_q=\frac{E_1\,\overline{X_L}}{R+\overline{X_L}}=\frac{100\cdot (j\,10)}{5+j\,10}
=80+j\,40\ \text{V}.\)
L’impedenza equivalente si ottiene cortocircuitando (annullando) il generatore di tensione del circuito precedente:
=\frac{R\,\overline{X_L}}{R+\overline{X_L}}
=\frac{5\cdot (j\,10)}{5+j\,10}
=4+j\,2\ \text{k}\Omega.\)
Con:
\(R_p=R_1\parallel R_2=\frac{12\cdot 8}{12+8}=4{,}8\ \text{k}\Omega,\)
poniamo il generatore equivalente di Thevenin \(E_q=v_q=80+j\,40\ \text{V}\) in serie a \(\overline{Z_q}\) e al carico \(R_p\).
Corrente del ramo equivalente:
\(\begin{aligned}
i_p&=\frac{E_q}{\overline{Z_q}+R_p}
=\frac{80+j\,40}{4+j\,2+4{,}8}
=\frac{80+j\,40}{8{,}8+j\,2}\\
&=\frac{(80+j\,40)(8{,}8-j\,2)}{(8{,}8+j\,2)(8{,}8-j\,2)}
=\frac{704-j\,160+j\,352-(-1)80}{77{,}44+4}\\
&=\frac{784+j\,192}{81{,}44}
=9{,}6+j\,2{,}3\ \text{mA}
=9{,}9\,e^{j13{,}7^\circ}\ \text{mA}.
\end{aligned}
\)
Tensione ai capi di Rp:
\(v_p=R_p\, i_p=4{,}8\cdot 9{,}9\,e^{j13{,}7^\circ}=47{,}5\,e^{j13{,}7^\circ}\ \text{V}.\)Corrente cercata nella resistenza R₁:
\(i=\frac{v_p}{R_1}=\frac{47{,}5\,e^{j13{,}7^\circ}}{12}=3{,}96\,e^{j13{,}7^\circ}\ \text{mA}. \)
In conclusione:
\(i = 3{,}96 \angle 13{,}7^\circ\ \text{mA}
\)