Esercizio n. 11 -

Nel circuito illustrato determinare la corrente i che scorre nella resistenza R₁.

$E_1 = 100 \sin(10^{4} t)\ \text{V}$
$R = 5\,\text{k}\Omega,\quad R_1 = 12\,\text{k}\Omega,\quad R_2 = 8\,\text{k}\Omega,\quad L = 1\,\text{H}.$

Soluzione

Decidiamo di semplificare la parte del circuito a monte del taglio effettuato.

Reattanza induttiva:

$\overline{X_L}=j\omega L=j\,10^{4}\cdot 1=j\,10^{4}\ \Omega = j\,10\ \text{k}\Omega.$

A vuoto la tensione v_q vale per la regola del partitore:

$v_q=\frac{E_1\,\overline{X_L}}{R+\overline{X_L}} =\frac{100\cdot (j\,10)}{5+j\,10} =80+j\,40\ \text{V}.$

L’impedenza equivalente si ottiene cortocircuitando (annullando) il generatore di tensione del circuito precedente:

$\overline{Z_q}=R\parallel \overline{X_L} =\frac{R\,\overline{X_L}}{R+\overline{X_L}} =\frac{5\cdot (j\,10)}{5+j\,10} =4+j\,2\ \text{k}\Omega.$

Con:

$R_p=R_1\parallel R_2=\frac{12\cdot 8}{12+8}=4{,}8\ \text{k}\Omega,$

poniamo il generatore equivalente di Thevenin $E_q=v_q=80+j\,40\ \text{V}$ in serie a $\overline{Z_q}$ e al carico $R_p$ .

Corrente del ramo equivalente:

$\begin{aligned} i_p&=\frac{E_q}{\overline{Z_q}+R_p} =\frac{80+j\,40}{4+j\,2+4{,}8} =\frac{80+j\,40}{8{,}8+j\,2}\\ &=\frac{(80+j\,40)(8{,}8-j\,2)}{(8{,}8+j\,2)(8{,}8-j\,2)} =\frac{704-j\,160+j\,352-(-1)80}{77{,}44+4}\\ &=\frac{784+j\,192}{81{,}44} =9{,}6+j\,2{,}3\ \text{mA} =9{,}9\,e^{j13{,}7^\circ}\ \text{mA}. \end{aligned}$

Tensione ai capi di R_p:

$v_p=R_p\, i_p=4{,}8\cdot 9{,}9\,e^{j13{,}7^\circ}=47{,}5\,e^{j13{,}7^\circ}\ \text{V}.$

Corrente cercata nella resistenza R₁:

$i=\frac{v_p}{R_1}=\frac{47{,}5\,e^{j13{,}7^\circ}}{12} =3{,}96\,e^{j13{,}7^\circ}\ \text{mA}.$

In conclusione:

$i = 3{,}96 \angle 13{,}7^\circ\ \text{mA}$

Esercizio n. 11

Soluzione

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