Esercizio n. 13 -

Nella cella RC illustrata, determina per quale frequenza la tensione di uscita v_o è sfasata in anticipo di 60° rispetto alla tensione di ingresso v_i.

$C = 22\,\text{nF}$
$R = 15\,\text{k}\Omega$

Soluzione

Si tratta di un partitore di tensione con

$\displaystyle v_0=\frac{R}{\,R+\overline{X_C}\,}\,v_i \;\;\Rightarrow\;\; v_0=\frac{R}{\,R+\frac{1}{j\omega C}\,}\,v_i.$

Possiamo fare l’ipotesi arbitraria che v_i abbia valore unitario e non abbia parti immaginarie:

$\overline{v_i}=1\ \text{V}.$

Per il rapporto v₀/v_i avremo:

$\displaystyle \frac{v_0}{v_i}=\frac{R}{\,R+\frac{1}{j\omega C}\,}=\frac{j\omega RC}{\,1+j\omega RC\,}.$

Moltiplico sopra e sotto per il complesso coniugato del denominatore:

$\displaystyle \frac{j\omega RC(1-j\omega RC)}{(1+j\omega RC)(1-j\omega RC)} =\frac{-j^{2}(\omega RC)^2+j\omega RC}{1+(\omega RC)^2} =\frac{(\omega RC)^2+j\omega RC}{1+(\omega RC)^2}.$

È un numero complesso la cui fase deve essere imposta a 60°:

$\displaystyle \theta=\operatorname{atan}\!\left(\frac{\Im}{\Re}\right) =\operatorname{atan}\!\left(\frac{\omega RC}{(\omega RC)^2}\right) =\operatorname{atan}\!\left(\frac{1}{\omega RC}\right)=60^\circ.$

Da cui

$\displaystyle \tan 60^\circ=\frac{1}{\omega RC}\;\Rightarrow\; \omega=\frac{1}{RC\,\tan 60^\circ}.$

Con i dati:

$\displaystyle R=15\cdot10^{3}\ \Omega,\quad C=22\cdot10^{-9}\ \text{F},\quad RC=15\cdot10^{3}\cdot22\cdot10^{-9}=330\cdot10^{-6}\ \text{s}.$

$\displaystyle \omega=\frac{1}{RC\sqrt{3}}=\frac{10^{6}}{330\sqrt{3}} =1749{,}54\ \text{rad/s}.$

Infine la frequenza:

$\displaystyle f=\frac{\omega}{2\pi}=\frac{1749{,}54}{2\pi}=278{,}44\ \text{Hz}.$

Con questo valore di frequenza la tensione di uscita risulterà sfasata in anticipo di 60° rispetto a quella di ingresso.

Esercizio n. 13

Soluzione

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