Esercizio n.3

$Per costruire una linea di trasmissione ad alta tensione che deve trasportare una corrente di $60\,\text{A}$ si prendono in considerazione il rame e l'alluminio. \\ La resistenza per unità di lunghezza deve essere $0{,}150\,\Omega/\text{km}$. \\ Si calcoli la densità di corrente $J$ e la massa lineica (cioè, massa per unità di lunghezza) $\frac{m}{l}$ del cavo in rame. \\ Calcolare inoltre la densità di corrente $J$ e la massa lineica $\frac{m}{l}$ del cavo in alluminio. \\ Le masse volumiche del rame e dell'alluminio sono rispettivamente: \[ \rho_{\text{Cu}} = 8960\,\text{kg}/\text{m}^3, \quad \rho_{\text{Al}} = 2600\,\text{kg}/\text{m}^3 \] \textbf{Soluzione.} La densità di corrente è definita come: \[ J = \frac{i}{S} \] Tenendo conto che: \[ 0{,}15\,\Omega/\text{km} = 0{,}15 \cdot 10^{-3}\,\Omega/\text{m} \] Dalla legge di Ohm: \[ R = \rho \frac{l}{S} \Rightarrow S = \rho \left(\frac{l}{R} \right) \] --- \textbf{Per il rame:} Con $\rho_{\text{Cu}} = 1{,}69 \cdot 10^{-8}\,\Omega\cdot\text{m}$: \[ J = \frac{i}{\rho \left(\frac{l}{R} \right)} = \frac{60}{1{,}69 \cdot 10^{-8}} \cdot 0{,}15 \cdot 10^{-3} = 5{,}32 \cdot 10^{5}\,\text{A}/\text{m}^2 \] Per calcolare la massa lineica, si parte dalla massa volumica: \[ \text{massa lineica} = \left(\frac{m}{l} \right) = \rho_{\text{massa}} \cdot S = \rho_{\text{massa}} \cdot \rho \cdot \left( \frac{l}{R} \right) \] \[ \left( \frac{m}{l} \right) = \frac{8960 \cdot 1{,}69 \cdot 10^{-8}}{0{,}15 \cdot 10^{-3}} = 1{,}01\,\frac{\text{kg}}{\text{m}} \] --- \textbf{Per l'alluminio:} Con $\rho_{\text{Al}} = 2{,}75 \cdot 10^{-8}\,\Omega\cdot\text{m}$: \[ J = \frac{60}{2{,}75 \cdot 10^{-8}} \cdot 0{,}15 \cdot 10^{-3} = 3{,}27 \cdot 10^{5}\,\text{A}/\text{m}^2 \] \[ \left( \frac{m}{l} \right) = \frac{2600 \cdot 2{,}75 \cdot 10^{-8}}{0{,}15 \cdot 10^{-3}} = 0{,}47\,\frac{\text{kg}}{\text{m}} \]$

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