Esercizio n.5 -

Esercizio no.5

Ai capi di un’impedenza
$Z=(4-j3)\ \Omega$ è applicata una tensione

$v(t)=25\sin(\omega t+30^\circ)\ \mathrm{V}$

Si trovi la corrente che vi scorre e lo sfasamento fra corrente e tensione.

Esercizio no.5: soluzione

$Z=(4-j3)\ \Omega$ la tensione $v(t)=25\sin(\omega t+30^\circ)\ \mathrm{V}$

Possiamo trovare la corrente applicando la legge di Ohm:

$i=\frac{v}{Z}$

essendo una divisione fra due quantità vettoriali può essere opportuno usare la forma polare:

$v=25e^{j30^\circ}$

$Z=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{25}=5\ \Omega$

$\theta=\operatorname{atg}\!\left(-\frac{3}{4}\right)=-36{,}86^\circ$

$i=\frac{v}{Z}=\frac{25\cdot e^{j30^\circ}}{5\cdot e^{-j36{,}86^\circ}}=5\cdot e^{j(30+36{,}86)}=5\cdot e^{j66{,}86^\circ}$

$i(t)=5\sin(\omega t+66^\circ)\ \mathrm{A}$

Lo sfasamento fra tensione e corrente è:

$\alpha=66{,}86-30=36{,}86^\circ$

Forma binomiale della tensione:

$v=25\cos30^\circ+j25\sin30^\circ=25\frac{\sqrt{3}}{2}+j\frac{25}{2}=21{,}65+j12{,}5\ \mathrm{V}$

Corrente:

$i=\frac{v}{Z}=\frac{21{,}65+j12{,}5}{4-j3} =\frac{(21{,}65+j12{,}5)(4+j3)}{(4-j3)(4+j3)} =\frac{86{,}6+j65+j50+j^2 37{,}5}{16-j^2 9}$

$i=\frac{86{,}6+j65+j50-37{,}5}{25}=\frac{49{,}1+j115}{25}=1{,}96+j4{,}6\ \mathrm{A}$

Dalla forma binomiale di $i$ , il modulo è:

$|i|=\sqrt{1{,}96^2+4{,}6^2}=5$

La fase della corrente:

$\theta=\operatorname{atg}\!\left(\frac{4{,}6}{1{,}96}\right)=66{,}9^\circ$

Esercizio n.5