Esercizio no.5
Ai capi di un’impedenza
\(Z=(4-j3)\ \Omega\) è applicata una tensione
\(v(t)=25\sin(\omega t+30^\circ)\ \mathrm{V}\)
Si trovi la corrente che vi scorre e lo sfasamento fra corrente e tensione.
Esercizio no.5: soluzione
\(Z=(4-j3)\ \Omega\) la tensione \(v(t)=25\sin(\omega t+30^\circ)\ \mathrm{V}\)
Possiamo trovare la corrente applicando la legge di Ohm:
\(i=\frac{v}{Z}\)
essendo una divisione fra due quantità vettoriali può essere opportuno usare la forma polare:
\(v=25e^{j30^\circ}\)
\(Z=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{25}=5\ \Omega\)
\(\theta=\operatorname{atg}\!\left(-\frac{3}{4}\right)=-36{,}86^\circ\)
\(i=\frac{v}{Z}=\frac{25\cdot e^{j30^\circ}}{5\cdot e^{-j36{,}86^\circ}}=5\cdot e^{j(30+36{,}86)}=5\cdot e^{j66{,}86^\circ}\)
\(i(t)=5\sin(\omega t+66^\circ)\ \mathrm{A}\)
Lo sfasamento fra tensione e corrente è:
\(\alpha=66{,}86-30=36{,}86^\circ\)
Forma binomiale della tensione:
\(v=25\cos30^\circ+j25\sin30^\circ=25\frac{\sqrt{3}}{2}+j\frac{25}{2}=21{,}65+j12{,}5\ \mathrm{V}\)
Corrente:
\(i=\frac{v}{Z}=\frac{21{,}65+j12{,}5}{4-j3}
=\frac{(21{,}65+j12{,}5)(4+j3)}{(4-j3)(4+j3)}
=\frac{86{,}6+j65+j50+j^2 37{,}5}{16-j^2 9}\)
=\frac{(21{,}65+j12{,}5)(4+j3)}{(4-j3)(4+j3)}
=\frac{86{,}6+j65+j50+j^2 37{,}5}{16-j^2 9}\)
\(i=\frac{86{,}6+j65+j50-37{,}5}{25}=\frac{49{,}1+j115}{25}=1{,}96+j4{,}6\ \mathrm{A}\)
Dalla forma binomiale di \(i\), il modulo è:
\(|i|=\sqrt{1{,}96^2+4{,}6^2}=5\)
La fase della corrente:
\(\theta=\operatorname{atg}\!\left(\frac{4{,}6}{1{,}96}\right)=66{,}9^\circ\)