Esercizio n. 6 -

In un bipolo di impedenza $Z = 3 + j5\ \Omega$ scorre la corrente di espressione: $i(t) = 5 \sin(\omega t + 12^\circ)\ \text{mA}.$

Trovare l’espressione trigonometrica della tensione applicata ai capi del bipolo.

Soluzione

Il bipolo ha impedenza $Z = 3 + j5\ \Omega$ e la corrente vale $i(t) = 5 \sin(\omega t + 12^\circ)\ \text{mA}$ . Applicando la legge di Ohm $v = Z\cdot i$ ; trattandosi di una moltiplicazione è opportuno usare la forma polare; quindi per il bipolo Z avremo:

$|Z| = \sqrt{3^2 + 5^2} = \sqrt{34} = 5{,}83\,\Omega \quad \text{(modulo)}.$

$\angle Z = \operatorname{atan}\!\left(\frac{5}{3}\right) = 59^\circ \quad \text{(fase)}, \qquad Z = 5{,}83\, e^{j59^\circ}\ \Omega.$

mentre per la corrente:

$i = 5\, e^{j12^\circ}\ \text{mA}.$

$v = Z \cdot i = 5{,}83\, e^{j59^\circ} \cdot 5\, e^{j12^\circ} = 29{,}15\, e^{j71^\circ}\ \text{mV}.$

$v(t) = 29{,}15 \sin(\omega t + 71^\circ)\ \text{mV}.$

Ma era possibile usare anche la forma binomiale, dato che la corrente i era esprimibile come:

$i = 5\cos 12^\circ + j\,5\sin 12^\circ = 4{,}89 + j\,1{,}04\ \text{mA}.$

$\begin{aligned} v &= Z \cdot i = (3 + j5)\,(4{,}89 + j\,1{,}04) \\ &= 14{,}67 + j\,3{,}12 + j\,24{,}45 + j^2\,5{,}2 \\ &= (14{,}67 - 5{,}2) + j\,(3{,}12 + 24{,}45) \\ &= 9{,}47 + j\,27{,}57\ \text{mV}. \end{aligned}$

$|v| = \sqrt{9{,}47^2 + 27{,}57^2} = 29{,}15, \qquad \angle v = \operatorname{atan}\!\left(\frac{27{,}57}{9{,}47}\right) = 71^\circ.$

Esercizio n. 6

Soluzione

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