Esercizio n. 8

DiAlfredo Di Fiore

Con il tasto T chiuso si ha:

    \[ R_{AB} = R_1 + \frac{R_2 \cdot R_3}{R_2 + R_3} \quad \text{con } R_3 = 800\,\Omega \]

Sistema di equazioni:

    \[ \begin{cases} 190 = R_1 + \frac{R_2 \cdot 800}{800 + R_2} \\ 200 = R_1 + R_2 \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} 190 = 200 - R_2 + \frac{R_2 \cdot 800}{800 + R_2} \\ R_1 = 200 - R_2 \end{cases} \]

Sviluppo della prima equazione:

    \[ 190 = 200 - R_2 + \frac{R_2 \cdot 800}{800 + R_2} \Rightarrow -10 = -R_2 + \frac{R_2 \cdot 800}{800 + R_2} \Rightarrow R_2 - 10 = \frac{R_2 \cdot 800}{800 + R_2} \]

    \[ (R_2 - 10)(800 + R_2) = 800 R_2 \]

    \[ R_2^2 + 800 R_2 - 10 R_2 - 8000 = 800 R_2 \Rightarrow R_2^2 - 10 R_2 - 8000 = 0 \]

Applicando la formula risolutiva:

    \[ R_2 = \frac{10 \pm \sqrt{(-10)^2 + 4 \cdot 8000}}{2} = \frac{10 \pm \sqrt{100 + 32000}}{2} = \frac{10 \pm \sqrt{32100}}{2} \]

    \[ \sqrt{32100} \approx 179{,}16 \Rightarrow R_2 = \frac{10 \pm 179{,}16}{2} \Rightarrow \begin{cases} R_2 = \frac{10 + 179{,}16}{2} = 94{,}58\,\Omega \\ R_2 = \frac{10 - 179{,}16}{2} < 0 \Rightarrow \text{non ammissibile} \end{cases} \]

Quindi:

    \[ R_2 = 94{,}58\,\Omega \quad \text{e} \quad R_1 = 200 - R_2 = 105{,}41\,\Omega \]

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