Esercizio 8: Soluzione

 Con il tasto T chiuso si ha:

\( R_{AB} = R_1 + \frac{R_2 \cdot R_3}{R_2 + R_3} \)

Nel nostro caso \( R_3 = 800\,\Omega \), per cui si imposta il sistema:

\(
\begin{cases}
190 = R_1 + \frac{R_2 \cdot 800}{800 + R_2} \\
200 = R_1 + R_2
\end{cases}
\quad \Rightarrow \quad
\begin{cases}
190 = 200 - R_2 + \frac{R_2 \cdot 800}{800 + R_2} \\
R_1 = 200 - R_2
\end{cases}
\)

Proseguendo sulla prima equazione:

\( -10 = -R_2 + \frac{R_2 \cdot 800}{800 + R_2} \Rightarrow R_2 - 10 = \frac{R_2 \cdot 800}{800 + R_2} \)

Moltiplichiamo ambo i membri per \( (800 + R_2) \):

\( (R_2 - 10)(800 + R_2) = 800 R_2 \)

Sviluppando:

\( R_2^2 + 800 R_2 - 10 R_2 - 8000 = 800 R_2 \Rightarrow R_2^2 - 10 R_2 - 8000 = 0 \)

Applicando la formula risolutiva del trinomio di secondo grado:

\( R_2 = \frac{10 \pm \sqrt{100 + 4 \cdot 8000}}{2} = \frac{10 \pm \sqrt{32100}}{2} = \frac{10 \pm 179{,}16}{2} \) \(
\Rightarrow
\begin{cases}
R_2 = \frac{10 + 179{,}16}{2} = 94{,}58\,\Omega \\
R_2 = \frac{10 - 179{,}16}{2} < 0 \quad \text{(non ammissibile)}
\end{cases}
\)

Infine:

\( R_1 = 200 - R_2 = 200 - 94{,}58 = 105{,}41\,\Omega \)