Esercizio n°10

DiAlfredo Di Fiore

Nel sistema di condensatori rappresentato con:

  • C1 = 12μF
  • C2 = 1μF
  • C3 = 2μF
  • C4 = 3μF
  • C5 = 4μF
  • C6 = 5μF
  • C7 = 18μF
  • VAB = 120V

 

Calcolare:

  1. La capacità equivalente fra i morsetti A e B.
  2. La carica accumulata su ogni condensatore.
  3. La tensione elettrica ai capi di ogni condensatore.

Soluzione:

I condensatori C5  e C6  sono in parallelo:

\(
C_{56} = C_5 + C_6 = 4 + 5 = 9\,\mu\text{F}
\)

Questi sono in serie con C7:

\(
C_{567} = \frac{C_7 \cdot C_{56}}{C_7 + C_{56}} = \frac{18 \cdot 9}{18 + 9} = \frac{162}{27} = 6\,\mu\text{F}
\)

Sull’altro ramo, il parallelo fra C2, C3, C4 :

\(
C_{234} = C_2 + C_3 + C_4 = 1 + 2 + 3 = 6\,\mu\text{F}
\)

In serie con \( C_1 \):

\(
C_{1234} = \frac{C_1 \cdot C_{234}}{C_1 + C_{234}} = \frac{12 \cdot 6}{12 + 6} = \frac{72}{18} = 4\,\mu\text{F}
\)

Capacità equivalente tra A e B:

\(
C_{AB} = C_{1234} + C_{567} = 4 + 6 = 10\,\mu\text{F}
\)

Carica totale accumulata:

\(
q_{AB} = C_{AB} \cdot V = 10 \cdot 10^{-6} \cdot 120 = 1200\,\mu\text{C}
\)

Questa carica si distribuisce nei due rami in serie:

\(
q_{567} = q_7 = C_{567} \cdot V = 6 \cdot 10^{-6} \cdot 120 = 720\,\mu\text{C}

\) \(
q_{1234} = q_1 = C_{1234} \cdot V = 4 \cdot 10^{-6} \cdot 120 = 480\,\mu\text{C}
\)

Tensioni ai capi di C1 e C7:

\(
V_1 = \frac{q_1}{C_1} = \frac{480}{12} = 40\,\text{V}
\qquad
V_7 = \frac{q_7}{C_7} = \frac{720}{18} = 40\,\text{V}
\)

La tensione rimanente è:

\(
V_{234} = V - V_1 = 120 - 40 = 80\,\text{V}
\qquad
V_{56} = V - V_7 = 120 - 40 = 80\,\text{V}
\)

Essendo in parallelo, anche:

\(
V_2 = V_3 = V_4 = V_{234} = 80\,\text{V}
\qquad
V_5 = V_6 = V_{56} = 80\,\text{V}
\)

Ora calcoliamo tutte le cariche:

\(
q_2 = C_2 V_2 = 1 \cdot 80 = 80\,\mu\text{C}
\qquad
q_3 = C_3 V_3 = 2 \cdot 80 = 160\,\mu\text{C}
\qquad
q_4 = C_4 V_4 = 3 \cdot 80 = 240\,\mu\text{C}
\) \(
q_5 = C_5 V_5 = 4 \cdot 80 = 320\,\mu\text{C}
\qquad
q_6 = C_6 V_6 = 5 \cdot 80 = 400\,\mu\text{C}
\)

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