Esercizio n°10

Nel sistema di condensatori rappresentato con:

C₁ = 12μF
C₂ = 1μF
C₃ = 2μF
C₄ = 3μF
C₅ = 4μF
C₆ = 5μF
C₇ = 18μF
V_AB = 120V

Calcolare:

La capacità equivalente fra i morsetti A e B.
La carica accumulata su ogni condensatore.
La tensione elettrica ai capi di ogni condensatore.

Soluzione:

I condensatori C₅ e C₆ sono in parallelo:

$C_{56} = C_5 + C_6 = 4 + 5 = 9\,\mu\text{F}$

Questi sono in serie con C₇:

$C_{567} = \frac{C_7 \cdot C_{56}}{C_7 + C_{56}} = \frac{18 \cdot 9}{18 + 9} = \frac{162}{27} = 6\,\mu\text{F}$

Sull’altro ramo, il parallelo fra C₂, C₃, C₄ :

$C_{234} = C_2 + C_3 + C_4 = 1 + 2 + 3 = 6\,\mu\text{F}$

In serie con $ C_1 $:

$C_{1234} = \frac{C_1 \cdot C_{234}}{C_1 + C_{234}} = \frac{12 \cdot 6}{12 + 6} = \frac{72}{18} = 4\,\mu\text{F}$

Capacità equivalente tra A e B:

$C_{AB} = C_{1234} + C_{567} = 4 + 6 = 10\,\mu\text{F}$

Carica totale accumulata:

$q_{AB} = C_{AB} \cdot V = 10 \cdot 10^{-6} \cdot 120 = 1200\,\mu\text{C}$

Questa carica si distribuisce nei due rami in serie:

$q_{567} = q_7 = C_{567} \cdot V = 6 \cdot 10^{-6} \cdot 120 = 720\,\mu\text{C}$

$q_{1234} = q_1 = C_{1234} \cdot V = 4 \cdot 10^{-6} \cdot 120 = 480\,\mu\text{C}$

Tensioni ai capi di C₁ e C₇:

$V_1 = \frac{q_1}{C_1} = \frac{480}{12} = 40\,\text{V} \qquad V_7 = \frac{q_7}{C_7} = \frac{720}{18} = 40\,\text{V}$

La tensione rimanente è:

$V_{234} = V - V_1 = 120 - 40 = 80\,\text{V} \qquad V_{56} = V - V_7 = 120 - 40 = 80\,\text{V}$

Essendo in parallelo, anche:

$V_2 = V_3 = V_4 = V_{234} = 80\,\text{V} \qquad V_5 = V_6 = V_{56} = 80\,\text{V}$

Ora calcoliamo tutte le cariche:

$q_2 = C_2 V_2 = 1 \cdot 80 = 80\,\mu\text{C} \qquad q_3 = C_3 V_3 = 2 \cdot 80 = 160\,\mu\text{C} \qquad q_4 = C_4 V_4 = 3 \cdot 80 = 240\,\mu\text{C}$

$q_5 = C_5 V_5 = 4 \cdot 80 = 320\,\mu\text{C} \qquad q_6 = C_6 V_6 = 5 \cdot 80 = 400\,\mu\text{C}$

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