Testo:
Tra i punti A e B del circuito disegnato viene applicata una differenza di potenziale V.
Le capacità dei condensatori sono:
C1 = 1nF, C2 = 2nF, C3 = 3nF.
Trovare il valore di C4 affinché si abbia VP = VT = 0.
Soluzione:
Facciamo la serie nei due rami del circuito:
C_{12} = \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2}, \qquad
C_{34} = \frac{C_3 C_4}{C_3 + C_4}
\)
Affinché VPT = 0, i due rami devono avere lo stesso potenziale tra i punti P e T, ovvero:
\frac{Q_{12}}{C_{12}} = \frac{Q_{34}}{C_{34}} \quad \Rightarrow \quad
\frac{Q_{34}}{Q_{12}} = \frac{C_{34}}{C_{12}}
\)
Ma:
\(Q_{12} = C_2 V_2, \quad Q_{34} = C_4 V_4
\quad \text{e} \quad V_2 = V_4
\)
Dunque:
\(\frac{Q_{34}}{Q_{12}} = \frac{C_4}{C_2}
\quad \Rightarrow \quad \frac{C_4}{C_2} = \frac{C_{34}}{C_{12}}
\)
Sostituiamo le formule esplicite delle capacità equivalenti:
\(\frac{C_4}{C_2} = \frac{\frac{C_3 C_4}{C_3 + C_4}}{\frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2}} = \frac{C_3 C_4}{C_3 + C_4} \cdot \frac{C_1 + C_2}{C_1 C_2}
\)
Sostituiamo i valori numerici:
\(\frac{C_4}{2} = \frac{3 C_4}{3 + C_4} \cdot \frac{3}{2}
\)
Semplificando:
\(\frac{C_4}{2} = \frac{9 C_4}{2(3 + C_4)}
\quad \Rightarrow \quad
C_4 (3 + C_4) = 9 C_4
\quad \Rightarrow \quad
C_4^2 + 3 C_4 = 9 C_4
\quad \Rightarrow \quad
C_4^2 - 6 C_4 = 0
\) \(
C_4 (C_4 - 6) = 0 \quad \Rightarrow \quad C_4 = 6\,\text{nF}
\)