Esercizio n°15

Alla rete di condensatori disegnata si applica una differenza di potenziale iniziale V.
Si ha: C₁ = C₂ = 25nF, C₃ = 15nF, Q₁ = 5 10^-7C.
Calcola Q₃ sulle armature di C₃.

In seguito, il sistema viene isolato e C₁ e C₂ vengono riempiti con un materiale dielettrico di costante ε_r = 4.
Calcola la differenza di potenziale V₁ ai capi del condensatore C₁.

Soluzione:

Nel ramo di destra, C₁ e C₂ sono in serie, quindi la carica Q₁ è la stessa su entrambi.
La tensione complessiva è:

$V = V_1 + V_2 = \frac{Q_1}{C_1} + \frac{Q_1}{C_2} = Q_1 \left( \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} \right)$

$C_s = \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2} = \frac{25 \cdot 25}{25 + 25} = 12{,}5\,\text{nF}$

$V = \frac{Q_1}{C_s} = \frac{5 \cdot 10^{-7}}{12{,}5 \cdot 10^{-9}} = 40\,\text{V}$

La tensione ai capi di C₃ è la stessa:

$Q_3 = C_3 \cdot V = 15 \cdot 10^{-9} \cdot 40 = 6 \cdot 10^{-7}\,\text{C}$

La carica complessiva contenuta nel sistema isolato è:

$Q_T = Q_1 + Q_3 = 5 \cdot 10^{-7} + 6 \cdot 10^{-7} = 11 \cdot 10^{-7}\,\text{C}$

Dopo l’inserimento del dielettrico:

$C_1 = C_2 = 100\,\text{nF} \quad \Rightarrow \quad C_{12} = \frac{100 \cdot 100}{100 + 100} = 50\,\text{nF}$

Il circuito parallelo risultante viene ricondotto ad un unico condensatore:

$C_T = C_3 + C_{12} = 15 + 50 = 65\,\text{nF}$

Nuova differenza di potenziale globale:

$V_o = \frac{Q_T}{C_T} = \frac{11 \cdot 10^{-7}}{65 \cdot 10^{-9}} = 17\,\text{V}$

Poiché C₁ e C₂ sono identici e in serie, il potenziale si divide in parti uguali:

$V_1 = V_2 = \frac{V_o}{2} = \frac{17}{2} = 8{,}5\,\text{V}$

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