Esercizio n°17

DiAlfredo Di Fiore
Un elettrone viene lanciato verso l’alto con un’inclinazione di 30^\circ rispetto all’orizzontale in un campo elettrico diretto verso il basso che ha intensità E = 5000 \, \text{N/C} .
La velocità iniziale dell’elettrone è v = 10^7 \, \text{m/s} .a) Calcola il tempo impiegato dall’elettrone per raggiungere la sua altezza massima.
b) Calcola l’altezza massima raggiunta rispetto alla posizione iniziale.
c) Calcola la distanza orizzontale rispetto alla posizione iniziale a cui si trova l’elettrone quando esso si ritrova alla sua originaria altezza iniziale.

Esercizio 17: soluzione

Trascurando la forza di gravità, l’elettrone si muove di moto uniforme in orizzontale mentre in verticale si muove con moto accelerato. Cioè:

v_x = v \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 10^7 \, \text{m/s}   (costante)

La forza elettrica agisce solo in verticale, quindi:

F = ma = qE \Rightarrow a = \frac{qE}{m} = \frac{1{,}6 \cdot 10^{-19} \cdot 5000}{9{,}1 \cdot 10^{-31}} = 8{,}8 \cdot 10^{14} \, \text{m/s}^2

La componente iniziale verticale della velocità è:

v_y = v \sin 30^\circ = \frac{10^7}{2} = 5 \cdot 10^6 \, \text{m/s}

Usando l’equazione 0 = v_y - a t per il punto di massima altezza (dove v_y = 0 ), si ricava:

t = \frac{v_y}{a} = \frac{5 \cdot 10^6}{8{,}8 \cdot 10^{14}} = 5{,}681 \cdot 10^{-9} \, \text{s}

a) Questo è il tempo per raggiungere l’altezza massima.

b) Calcoliamo ora l’altezza:

h = v_y t - \frac{1}{2} a t^2 = 5 \cdot 10^6 \cdot 5{,}681 \cdot 10^{-9} - \frac{1}{2} \cdot 8{,}8 \cdot 10^{14} \cdot (5{,}681 \cdot 10^{-9})^2 = 0{,}0142 \, \text{m} = 1{,}42 \, \text{cm}

c) Per tornare all’altezza iniziale, l’elettrone impiega il doppio del tempo:

t = 2 \cdot 5{,}681 \cdot 10^{-9} = 0{,}11 \cdot 10^{-7} \, \text{s}

Lo spostamento orizzontale sarà:

d = v_x t = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 10^7 \cdot 0{,}11 \cdot 10^{-7} = 0{,}0952 \, \text{m} = 9{,}52 \, \text{cm}

 

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