Esercizio n°4

DiAlfredo Di Fiore

Due cariche omopolari \( Q_1 = 4\,\mu\text{C} \) e \( Q_2 = 10\,\mu\text{C} \) sono poste alla distanza \( r = 10\,\text{cm} \) l’una dall’altra. Determina la posizione di equilibrio di una terza carica posta tra \( Q_1 \) e \( Q_2 \) sul segmento che ha per estremi le posizioni delle due cariche assegnate.

Esercizio 4: soluzione

La disposizione geometrica è la seguente:

La forza esercitata dalla carica \( Q_1 \) è:

F_1 = k_0 \frac{Q_1 q}{r_1^2}

Questa deve essere uguale alla forza esercitata dalla carica \( Q_2 \):

F_2 = k_0 \frac{Q_2 q}{r_2^2}

Uguagliando i moduli:

k_0 \frac{Q_1 q}{r_1^2} = k_0 \frac{Q_2 q}{r_2^2} \Rightarrow \frac{Q_1}{r_1^2} = \frac{Q_2}{r_2^2}

Essendo \( r_2 = r - r_1 \), si ha:

\frac{Q_1}{r_1^2} = \frac{Q_2}{(r - r_1)^2}

Moltiplicando entrambi i membri per \( r_1^2 (r - r_1)^2 \):

Q_1 (r - r_1)^2 = Q_2 r_1^2

Sviluppando:

Q_1 (r^2 - 2 r r_1 + r_1^2) = Q_2 r_1^2

Riordinando:

(Q_1 - Q_2) r_1^2 + 2 Q_1 r r_1 - Q_1 r^2 = 0

Inserendo i valori numerici:

(4 - 10) \cdot r_1^2 + 2 \cdot 4 \cdot 0{,}10 \cdot r_1 - 4 \cdot (0{,}10)^2 = 0

Ovvero:

-6 r_1^2 + 0{,}8 r_1 - 0{,}04 = 0

Risolvendo con la formula risolutiva:

r_1 = 0{,}038\,\text{m} \Rightarrow r_2 = r - r_1 = 0{,}062\,\text{m}

L’unica soluzione accettabile è: \( r_1 = 0{,}038\,\text{m} \), \( r_2 = 0{,}062\,\text{m} \)

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