Circuiti RC Risposta all'impulso soluzioni

Esercizio n°5

DiAlfredo Di Fiore venerdì 4 Luglio 2025domenica 6 Luglio 2025

Nel circuito indicato si ha:

$\begin{aligned} E &= 12\,\text{kV} \\ C &= 6{,}5\,\mu\text{F} \\ R_1 = R_2 = R_3 &= 0{,}73\,\text{M}\Omega \end{aligned}$

Con $C$ inizialmente scarico, all’istante $t = 0$ il tasto T viene chiuso, dire per $t = 0$ :

Quanto vale la corrente $i_1$ nella resistenza $R_1$ ?
Quanto vale la corrente $i_2$ nella resistenza $R_2$ ?
Quanto vale la corrente $i_3$ nella resistenza $R_3$ ?

Per $t \to \infty$ :

Quanto vale la corrente $i_1$ nella resistenza $R_1$ ?
Quanto vale la corrente $i_2$ nella resistenza $R_2$ ?
Quanto vale la corrente $i_3$ nella resistenza $R_3$ ?
Calcolare infine la tensione sulla resistenza :
- g) per $t = 0$
- h) per $t \to \infty$

Soluzione

Teniamo conto che:

All’istante $t = 0$ , il condensatore si comporta come un corto circuito
Per $t \to \infty$ , il condensatore si comporta come un circuito aperto

—

Per $t = 0$ :

La resistenza equivalente è:

$R_{\text{eq}} = R_1 + \frac{R_2 R_3}{R_2 + R_3} = 0{,}73 + \frac{0{,}73^2}{2 \cdot 0{,}73} = 1{,}095\,\text{M}\Omega$

$i_1 = \frac{E}{R_{\text{eq}}} = \frac{12 \cdot 10^3}{1{,}095 \cdot 10^6} = 0{,}0011\,\text{A} = 1{,}1\,\text{mA}$

La tensione sulla resistenza $R_2$ è:

$v_2 = i_1 \cdot \frac{R_2 R_3}{R_2 + R_3} = 1{,}1 \cdot 10^{-3} \cdot \frac{0{,}54}{1{,}46} \cdot 10^6 = 401{,}5\,\text{V}$

Quindi:

$i_2 = i_3 = \frac{v_2}{R_2} = \frac{401{,}5}{0{,}73 \cdot 10^6} = 0{,}55\,\text{mA}$

—

Per $t \to \infty$ :

Il condensatore si comporta come un circuito aperto, quindi:

$i_1 = i_2 = \frac{E}{R_1 + R_2} = \frac{12 \cdot 10^3}{2 \cdot 0{,}73 \cdot 10^6} = 0{,}82\,\text{mA}$

$i_3 = 0$

Infine, la tensione sulla resistenza $R_2$ :

$v_2 = \frac{E R_2}{R_1 + R_2} = \frac{E}{2} = 6\,\text{kV}$