Esercizio n°9

Calcolo della resistenza R per diversi rendimenti

Testo del problema:
Un generatore di forza elettromotrice E = 12\,\text{V} ha resistenza interna r_g = 120\,\Omega .
Si vuole calcolare la resistenza del carico R affinché venga trasferito il 50%, l’80% e il 10% della potenza generata.
In tutti e tre i casi si calcoli la potenza assorbita dal carico.

Corrente nel circuito

I = \frac{E}{R + r_g}

Potenza utile e potenza generata

Potenza assorbita dal carico:
P_u = R \cdot I^2 = \frac{R \cdot E^2}{(R + r_g)^2}

Potenza generata dal generatore:
P_g = E \cdot I = \frac{E^2}{R + r_g} \cdot \frac{1}{R + r_g} = \frac{E^2}{(R + r_g)^2}

Rendimento di trasferimento

\eta = \frac{P_u}{P_g} = \frac{R}{R + r_g}

Risolvendo per R :

\eta(R + r_g) = R \Rightarrow \eta \cdot r_g = R(1 - \eta) \Rightarrow R = \frac{\eta \cdot r_g}{1 - \eta}

Calcolo della resistenza per ciascun rendimento

  • Per \eta = 50\% :
    R = \frac{0{,}5 \cdot 120}{1 - 0{,}5} = 120\,\Omega
  • Per \eta = 80\% :
    R = \frac{0{,}8 \cdot 120}{1 - 0{,}8} = 480\,\Omega
  • Per \eta = 10\% :
    R = \frac{0{,}1 \cdot 120}{1 - 0{,}1} = 13{,}3\,\Omega

Calcolo della potenza utile in ciascun caso

  • Per \eta = 50\% :
    P_u = \frac{120 \cdot 12^2}{(120 + 120)^2} = \frac{17280}{240^2} = 300\,\text{mW}
  • Per \eta = 80\% :
    P_u = \frac{480 \cdot 12^2}{(480 + 120)^2} = \frac{69120}{600^2} = 192\,\text{mW}
  • Per \eta = 10\% :
    P_u = \frac{13{,}3 \cdot 12^2}{(13{,}3 + 120)^2} = \frac{1915{,}2}{133{,}3^2} \approx 108\,\text{mW}

Risultati finali

  • Resistenza per 50%: 120\,\Omega , Potenza: 300\,\text{mW}
  • Resistenza per 80%: 480\,\Omega , Potenza: 192\,\text{mW}
  • Resistenza per 10%: 13{,}3\,\Omega , Potenza: 108\,\text{mW}

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