Esercizio n°9 -

In figura è mostrato un circuito magnetico costituito da quattro tronchi e quattro traferri.
L’avvolgimento di $N = 4000$ spire è alimentato con tensione $E = 48\ \text{V}$ e la resistenza complessiva $R = 24\ \Omega$ . Sono inoltre note le dimensioni $l = 12\ \text{cm}$ ed $l_0 = 0{,}8\ \text{cm}$ e si sa che la sezione è uguale per tutti i tronchi.

Ipotizzando che la permeabilità magnetica del nucleo sia costante e di valore $\mu_r = 1200$ e che non vi siano dispersioni di flusso con $\phi = 5{,}98 \cdot 10^{-4}\ \text{Wb}$ , si vuole calcolare:

La sezione del tronco
L’energia immagazzinata nel circuito magnetico

soluzione

Troviamo la corrente dell’avvolgimento di magnetizzazione:

$I = \frac{E}{R} = \frac{48}{24} = 2\ \text{A}$

La tensione magnetica o f.m.m.:

$F = NI = 4000 \cdot 2 = 8000\ \text{Asp}$

Con la legge di Hopkinson si trova la riluttanza totale:

$\mathfrak{R} = \frac{8000}{5{,}98 \cdot 10^{-4}} = 13{,}376 \cdot 10^{10}\ \text{H}^{-1}$

D’altra parte la riluttanza completa del circuito magnetico è:

$\mathfrak{R} = \frac{4l}{\mu_0 \mu_r S} + \frac{l_0}{\mu_0 S} = \frac{1}{S} \left( \frac{4l}{\mu_0 \mu_r} + \frac{l_0}{\mu_0} \right)$

Risolvendo rispetto a $S$:

$S = \frac{1}{\mathfrak{R} \left( \frac{4l}{\mu_0 \mu_r} + \frac{l_0}{\mu_0} \right)} = \frac{1}{13{,}376 \cdot 10^{10} \left( \frac{4 \cdot 12 \cdot 10^{-2}}{1200 \cdot 1{,}256 \cdot 10^{-6}} + \frac{0{,}8}{1{,}256 \cdot 10^{-6}} \right)} = 5 \cdot 10^{-4}\ \text{m}^2 = 5\ \text{cm}^2$

Troviamo poi il volume della struttura magnetica:

$V = 4 l S = 48 \cdot 10^{-2} \cdot 5 \cdot 10^{-4} = 240 \cdot 10^{-6}\ \text{m}^3$

Per il traferro:

$V_0 = 0{,}8 \cdot 10^{-2} \cdot 5 \cdot 10^{-4} = 4 \cdot 10^{-6}\ \text{m}^3$

Dal flusso magnetico, essendo la sezione costante, si ricava l’induzione $B$ :

$B = \frac{\phi}{S} = \frac{5{,}98 \cdot 10^{-4}}{5 \cdot 10^{-4}} = 1{,}2\ \text{T}$

L’energia totale immagazzinata dal circuito magnetico è data dalla somma di due termini relativi ai due volumi trovati:

$E = \frac{1}{2} \frac{B^2}{\mu} V + \frac{1}{2} \frac{B^2}{\mu_0} V_0$
$E = \frac{1}{2} \frac{1{,}2^2 \cdot 240 \cdot 10^{-6}}{2 \cdot 1200 \cdot 1{,}256 \cdot 10^{-6}} \frac{1}{2} \frac{1{,}2^2 \cdot 4 \cdot 10^{-6}}{2 \cdot 1{,}256 \cdot 10^{-6}} = 2{,}4\ \text{J}$