In figura è mostrato un circuito magnetico costituito da quattro tronchi e quattro traferri.
L’avvolgimento di \(\(N = 4000\)\) spire è alimentato con tensione \(\(E = 48\ \text{V}\)\) e la resistenza complessiva \(\(R = 24\ \Omega\)\). Sono inoltre note le dimensioni \(\(l = 12\ \text{cm}\)\) ed \(\(l_0 = 0{,}8\ \text{cm}\)\) e si sa che la sezione è uguale per tutti i tronchi.
Ipotizzando che la permeabilità magnetica del nucleo sia costante e di valore \(\(\mu_r = 1200\)\) e che non vi siano dispersioni di flusso con \(\(\phi = 5{,}98 \cdot 10^{-4}\ \text{Wb}\)\), si vuole calcolare:
- La sezione del tronco
- L’energia immagazzinata nel circuito magnetico
soluzione
Troviamo la corrente dell’avvolgimento di magnetizzazione:
\( I = \frac{E}{R} = \frac{48}{24} = 2\ \text{A} \)La tensione magnetica o f.m.m.:
\( F = NI = 4000 \cdot 2 = 8000\ \text{Asp} \)Con la legge di Hopkinson si trova la riluttanza totale:
\( \mathfrak{R} = \frac{8000}{5{,}98 \cdot 10^{-4}} = 13{,}376 \cdot 10^{10}\ \text{H}^{-1} \)D’altra parte la riluttanza completa del circuito magnetico è:
\( \mathfrak{R} = \frac{4l}{\mu_0 \mu_r S} + \frac{l_0}{\mu_0 S} = \frac{1}{S} \left( \frac{4l}{\mu_0 \mu_r} + \frac{l_0}{\mu_0} \right) \)Risolvendo rispetto a \(S\):
\( S = \frac{1}{\mathfrak{R} \left( \frac{4l}{\mu_0 \mu_r} + \frac{l_0}{\mu_0} \right)} = \frac{1}{13{,}376 \cdot 10^{10} \left( \frac{4 \cdot 12 \cdot 10^{-2}}{1200 \cdot 1{,}256 \cdot 10^{-6}} + \frac{0{,}8}{1{,}256 \cdot 10^{-6}} \right)} = 5 \cdot 10^{-4}\ \text{m}^2 = 5\ \text{cm}^2 \)Troviamo poi il volume della struttura magnetica:
\( V = 4 l S = 48 \cdot 10^{-2} \cdot 5 \cdot 10^{-4} = 240 \cdot 10^{-6}\ \text{m}^3 \)Per il traferro:
\( V_0 = 0{,}8 \cdot 10^{-2} \cdot 5 \cdot 10^{-4} = 4 \cdot 10^{-6}\ \text{m}^3 \)Dal flusso magnetico, essendo la sezione costante, si ricava l’induzione \(\(B\)\):
\( B = \frac{\phi}{S} = \frac{5{,}98 \cdot 10^{-4}}{5 \cdot 10^{-4}} = 1{,}2\ \text{T} \)L’energia totale immagazzinata dal circuito magnetico è data dalla somma di due termini relativi ai due volumi trovati:
\( E = \frac{1}{2} \frac{B^2}{\mu} V + \frac{1}{2} \frac{B^2}{\mu_0} V_0 \)
\(
E = \frac{1}{2} \frac{1{,}2^2 \cdot 240 \cdot 10^{-6}}{2 \cdot 1200 \cdot 1{,}256 \cdot 10^{-6}}
\frac{1}{2} \frac{1{,}2^2 \cdot 4 \cdot 10^{-6}}{2 \cdot 1{,}256 \cdot 10^{-6}}
= 2{,}4\ \text{J}
\)
Si poteva anche procedere diversamente, infatti l’energia si può anche esprimere così:
\( E = \frac{1}{2} B H S l_T \)Ma \(BS = \phi\) ed \(H l_T = NI\), e si può scrivere:
\( E = \frac{1}{2} \phi NI = \frac{1}{2} \cdot 5{,}98 \cdot 10^{-4} \cdot 8000 = 2{,}39\ \text{J} \)La piccola differenza è da attribuire alle approssimazioni nei calcoli.