Esercizio n°9

Nel circuito di figura, inizialmente i tasti $T_1$ e $T_2$ sono aperti e il condensatore $C$ è scarico.
All’istante $t = 0$ viene chiuso il tasto $T_1$ , dopo un tempo $t_0 = 42\,\text{ms}$ si chiude anche $T_2$ .
Si trovi il valore di $v_C$ dopo un tempo $t_1 = 82\,\text{ms}$ dalla chiusura del primo deviatore.

Soluzione

Nel primo intervallo di tempo, da 0 a 42 ms, il circuito ha la configurazione:

$R = R_1 + R_2 = 22\,\text{k}\Omega$

Il condensatore si carica esponenzialmente, quindi all’istante $t_0 = 42\,\text{ms}$ si ha:

$v_C(t_0) = V_0 = E \cdot \left( 1 - e^{-t_0 / (RC)} \right)$

$v_C(42\,\text{ms}) = 4 \cdot \left( 1 - e^{- \frac{42 \cdot 10^{-3}}{22 \cdot 10^3 \cdot 10^{-6}} } \right) = 4 \cdot \left( 1 - e^{- \frac{42}{220}} \right) \approx 0{,}695\,\text{V}$

Dopo la chiusura del secondo deviatore $T_2$ , il circuito cambia configurazione: ora il condensatore si carica tramite la sola resistenza $R_2$ . Applichiamo la formula generale:

$v_C(t_1) = v_f - (v_f - v_i) \cdot e^{-(t_1 - t_0)/\tau}$

Con

$\begin{flushleft} \begin{aligned} v_i = 0{,}695\,\text{V}, \quad v_f = E = 4\,\text{V}, \quad \tau = R_2 \cdot C = 2 \cdot 10^3 \cdot 10^{-5} = 0{,}02\,\text{s}, t_1 - t_0 = 82\,\text{ms} - 42\,\text{ms} = 40\,\text{ms} \end{aligned} \end{flushleft}$

si ha:

$\begin{flushleft} \begin{aligned} v_C(t_1) &= 4 - (4 - 0{,}695) \cdot e^{-40 \cdot 10^{-3} / 0{,}02} &= 4 - 3{,}305 \cdot e^{-2} &\approx 4 - 3{,}305 \cdot 0{,}1353 &\approx 3{,}94\,\text{V} \end{aligned} \end{flushleft}$

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