Esercizio n°9

DiAlfredo Di Fiore

Nel circuito di figura, inizialmente i tasti \( T_1 \) e \( T_2 \) sono aperti e il condensatore \( C \) è scarico.
All’istante \( t = 0 \) viene chiuso il tasto \( T_1 \), dopo un tempo \( t_0 = 42\,\text{ms} \) si chiude anche \( T_2 \).
Si trovi il valore di \( v_C \) dopo un tempo \( t_1 = 82\,\text{ms} \) dalla chiusura del primo deviatore.

Soluzione

Nel primo intervallo di tempo, da 0 a 42 ms, il circuito ha la configurazione:

R = R_1 + R_2 = 22\,\text{k}\Omega

Il condensatore si carica esponenzialmente, quindi all’istante \( t_0 = 42\,\text{ms} \) si ha:

v_C(t_0) = V_0 = E \cdot \left( 1 - e^{-t_0 / (RC)} \right)

v_C(42\,\text{ms}) = 4 \cdot \left( 1 - e^{- \frac{42 \cdot 10^{-3}}{22 \cdot 10^3 \cdot 10^{-6}} } \right) = 4 \cdot \left( 1 - e^{- \frac{42}{220}} \right) \approx 0{,}695\,\text{V}

Dopo la chiusura del secondo deviatore \( T_2 \), il circuito cambia configurazione: ora il condensatore si carica tramite la sola resistenza \( R_2 \). Applichiamo la formula generale:

v_C(t_1) = v_f - (v_f - v_i) \cdot e^{-(t_1 - t_0)/\tau}

Con

\begin{flushleft} \begin{aligned} v_i = 0{,}695\,\text{V}, \quad v_f = E = 4\,\text{V}, \quad \tau = R_2 \cdot C = 2 \cdot 10^3 \cdot 10^{-5} = 0{,}02\,\text{s}, t_1 - t_0 = 82\,\text{ms} - 42\,\text{ms} = 40\,\text{ms} \end{aligned} \end{flushleft}

si ha:

\begin{flushleft} \begin{aligned} v_C(t_1) &= 4 - (4 - 0{,}695) \cdot e^{-40 \cdot 10^{-3} / 0{,}02} &= 4 - 3{,}305 \cdot e^{-2} &\approx 4 - 3{,}305 \cdot 0{,}1353 &\approx 3{,}94\,\text{V} \end{aligned} \end{flushleft}

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