Grandezze alternate sinusoidali

Grandezze alternate sinusoidali

Si chiamano grandezze alternate quelle che, oltre ad essere periodiche (cioè a ripetersi nel tempo in modo regolare), hanno un valore medio nullo: la somma dei valori positivi è uguale a quella dei valori negativi.
In fisica esistono diverse grandezze che presentano questo andamento; un esempio immediato è il movimento di un pendolo ideale.
Un’analogia utile è quella tra correnti elettriche e correnti idrauliche.
Nella Figura 1a vediamo il modello idraulico della corrente continua: una pompa (f.e.m.) mantiene in movimento, sempre nello stesso verso, un flusso d’acqua che rappresenta la corrente elettrica.
Nella Figura 1b, invece, l’acqua è mantenuta in moto alternativo da uno stantuffo: si realizza così un modello di corrente alternata.

Modello idraulico di corrente continua e alternata
Figura 1 – Modello idraulico per corrente continua (a) e alternata (b)

Tra le forme particolari di grandezze alternate, quelle sinusoidali rivestono particolare importanza in elettrotecnica, poiché è in questa forma che la corrente e la tensione vengono normalmente prodotte, distribuite e utilizzate.

Periodo e frequenza

Andamento di una grandezza sinusoidale
Figura 2 – Andamento di una grandezza sinusoidale alternata

Periodo e frequenza


Il periodo \(T\) è il tempo impiegato da un’onda per completare un’oscillazione completa, ovvero il tempo che passa tra due punti corrispondenti successivi dopo il quale la grandezza riproduce identicamente il proprio andamento.

Il periodo di un’onda sinusoidale è il tempo impiegato dall’onda per compiere un intero ciclo, l’onda è caratterizzata dal fatto che compie lo stesso ciclo in modo ripetuto. Il ciclo di un’onda alternata si misura in secondi.

Un altro importante parametro è la frequenza che è il numero di oscillazioni complete che un’onda compie in un secondo.

in figura la sinusoide di destra compie un numero di cicli doppio rispetto alla sinusoide di sinistra: essa ha un periodo che è la metà della sinusoide di sinistra.
Importante è la relazione fra frequenza, periodo e pulsazione:

Un altro importante parametro è la frequenza che è il numero di cicli compiuti nell’unità di tempo (in 1 secondo).

Il periodo \(T\) è l’intervallo di tempo (in secondi) dopo il quale la grandezza riproduce identicamente il proprio andamento. La frequenza \(f\) indica invece il numero di periodi completi in un secondo.

f = \frac{1}{T}, \quad T = \frac{1}{f}

Se \(T\) è espresso in secondi, \(f\) è misurata in hertz (Hz).
Esempio: se \(T = 0{,}02\ \text{s}\), la frequenza è:

f = \frac{1}{0{,}02} = 50\ \text{Hz}

Pulsazione

Una grandezza sinusoidale può essere vista come la proiezione di un vettore che ruota a velocità angolare uniforme \(\omega\), completando una rotazione di \(2\pi\) radianti in un periodo \(T\). La pulsazione si definisce come:

\omega = \frac{2\pi}{T} = 2\pi f \quad [\text{rad/s}]

Equazione della sinusoide

La forma analitica di una grandezza sinusoidale generica è:

a(t) = A_M \sin(\omega t)

  • \(a(t)\): valore istantaneo
  • \(A_M\): valore massimo (ampiezza)
  • \(\omega t\): angolo in radianti percorso in \(t\) secondi

Fase

La fase è una misura angolare che caratterizza la posizione del segmento V ad ogni istante della sua rotazione, Particolare importanza assume il valore della fase iniziale ϕ :la fase che caratterizza il vettore all’istante t=0.

esempio di sinusoide in anticipo di fase di 45° rispetto alla sinusoide originaria di fase 0: Vsin(ω t).

 

esempio di sinusoide in ritardo di fase di 45° rispetto alla sinusoide originaria di fase 0: Vsin(ω t).

È importante notare come sia indifferente usare la funzione seno o quella coseno per descrivere grandezze di questo tipo, data l’esistenza della relazione

sin(90^\circ + \alpha) = \cos \alpha

e di altre.

Valore medio

Il valore medio \(A_m\) di una grandezza sinusoidale è nullo su un periodo completo, ma si calcola sulla semionda:

A_m = \frac{2}{\pi} A_M=0,637\, A_M

Valore efficace

Nelle grandezze elettriche in regime alternato sinusoidale, molta importanza riveste la nozione di valore efficace.

Si definisce valore efficace di una grandezza alternata sinusoidale il corrispondente valore costante che produce gli stessi effetti termici generati dalla grandezza alternata sinusoidale.

Infatti, la potenza dissipata su una resistenza R in corrente continua è:

P = R \, I^2

In un periodo \( T \) si sviluppa un’energia termica pari a:

W_c = R \, I^2 \, T

Se valutiamo l’energia prodotta nello stesso periodo da una corrente alternata sinusoidale \( i = i(t) \), in termini infinitesimali avremo:

dW = R \, [i(t)]^2 \, dt

Integrando su un periodo:

W_a = \int_{0}^{T} R \, [i(t)]^2 \, dt

Poiché per una sinusoide \( i(t) = I_m \sin(\omega t) \), sostituendo si ottiene:

W_a = R \, I_m^2 \int_{0}^{T} \sin^2(\omega t) \, dt

Sapendo che:

\sin^2(\omega t) = \frac{1 - \cos(2\omega t)}{2}

l’integrale diventa:

W_a = R \, I_m^2 \cdot \frac{T}{2}

Eguagliando \( W_a \) con \( W_c \) si ha:

R \, I^2 \, T = R \, I_m^2 \cdot \frac{T}{2}

da cui:

I = \frac{I_m}{\sqrt{2}}

Quindi, il valore efficace di una corrente alternata sinusoidale è:

I_{\text{eff}} = \frac{I_m}{\sqrt{2}}

Analogamente, per la tensione:

V_{\text{eff}} = \frac{V_m}{\sqrt{2}}

 

per cui, genericamente possiamo affermare che:

Il valore efficace (RMS) di una grandezza alternata è quello che, se fosse costante, dissiperebbe la stessa potenza su una resistenza del valore massimo \(A_M\):

A_{\text{eff}} = \frac{A_m}{\sqrt{2}} = 0.707 \, A_M

Si ricorda che il valore delle grandezze elettriche in regime alternato viene fornito sempre come valore efficace.

Valori notevoli per una sinusoide: 1) Ampiezza di picco 2) Ampiezza picco-picco  3) Valore efficace  4) Periodo d’onda

Il rapporto fra valore efficace e valore medio si chiama fattore di forma:

k_f = \frac{A_{\text{eff}}}{A_m} = \frac{\pi}{2\sqrt{2}} \approx 1{,}11

Generazione geometrica di una sinusoide

Generazione geometrica di una sinusoide

Figura 3 – Generazione geometrica di una sinusoide tramite proiezione di un vettore rotante

Immaginiamo un punto che ruota uniformemente lungo una circonferenza; la sua proiezione sull’asse verticale nel tempo descrive una sinusoide.
Consideriamo il punto A, estremo del raggio OA, che ruota con moto uniforme, partendo da AO, nel senso indicato dalla freccia.
Possiamo “sviluppare” il suo percorso lungo la circonferenza, sull’asse 0t su cui ad intervalli uguali, facciamo corrispondere cerchi uguali percorsi da A. Poiché il moto è uniforme, basta dividere l’intervallo corrispondente all’intero sviluppo della circonferenza in tanti tratti quanti sono i secondi impiegati dal punto A per percorrerla. Ora, se per ogni istante riportiamo sul diagramma perpendicolarmente alla retta dei tempi, il segmento OH, proiezione del segmento OA sul diametro verticale BB1, otteniamo una sinusoide. I punti nei quali la curva raggiunge la sua massima ampiezza positiva o negativa corrispondono al passaggio di A per i punti B e B1, mentre quelli di valore zero corrispondono al passaggio di A per il punto A0 e A1. Questo modo di rappresentare le grandezze alternate è senza dubbio il più completo. Ma se dobbiamo eseguire calcoli, risolvere problemi teorici e pratici, esistono altri metodi che si prestano più agevolmente allo studio.

Rappresentazione vettoriale (fasoriale)

Un metodo di calcolo efficace è quello che si serve dalla rappresentazione vettoriale.
Abbiamo visto come si ricava una sinusoide considerando il raggio che percorre una circonferenza con velocità uniforme. Nulla toglie però alle condizioni già viste se quel raggio, rotante viene sostituito con un vettore (segmento orientato) di modulo uguale al valore massimo, e rotante con velocità angolare ω.
La stessa cosa possiamo dire se le grandezze sinusoidali sono più di una: ciascuna di esse risulterà rappresentata da un vettore rotante nel verso antiorario con la propria velocità ω, avente un estremo posto nel punto comune 0, di modulo uguale all’ampiezza della propria sinusoide e formante con l’asse orizzontale nell’istante t = 0 un angolo detto angolo di fase. È importante osservare che, quando le grandezze sinusoidali in gioco sono tutte della stessa frequenza, i vettori rappresentativi ruotano tutti nello stesso verso, con la stessa velocità angolare, conservando quindi tra loro le stesse differenze di fase. Poiché dunque le relative posizioni dei diversi vettori che rappresentano le grandezze sinusoidali date sono costanti nel tempo, si può pensare di considerare i suddetti vettori fermi nel piano, in una posizione corrispondente ad un tempo qualsiasi (di solito si assume la posizione corrispondente a t = 0). Ciò, come si vedrà, torna di grandissima utilità nello studio dei circuiti elettrici in regime sinusoidale.
In particolare, con la rappresentazione vettoriale delle varie grandezze, sono maggiormente visibili le relazioni che interessano le fasi. Così una grandezza sinusoidale, che debba anticipare o ritardare di una certa frazione di periodo rispetto ad un’altra, non farà che ruotare in anticipo o in ritardo del corrispondente angolo di sfasamento φ (in Figura 4 φ = 30°).
Ovviamente fra due grandezze si dice in ritardo quella che, ruotando in senso antiorario raggiunge dopo il suo valore massimo, mentre quella che lo raggiunge per prima si dice in anticipo.
Se due vettori rappresentativi di grandezze sinusoidali hanno la stessa direzione e lo stesso verso (φ = 0) si dicono in fase tra loro, se l’angolo di sfasamento φ = 90° sono in quadratura, se poi i due vettori hanno la stessa direzione, ma verso opposto, (φ = 180°), in opposizione.
Con il metodo dei vettori potranno essere eseguite le operazioni di somma e di differenza fra grandezze alternate, come, ad esempio, la ricerca della risultante di più correnti della stessa frequenza confluenti in un circuito, oppure la determinazione della d.d.p. da applicare ai capi di un circuito in serie, ecc…
Naturalmente le somme e differenze di vettori si potranno eseguire soltanto quando si tratta di grandezze tra loro omogenee (correnti con correnti, tensioni con tensioni, ecc.) e rappresentate nella medesima scala. Quando invece si deve fare il prodotto, le grandezze potranno non essere omogenee, per esempio una corrente e una tensione. In questo caso non si arriva al risultato attraverso operazioni geometriche semplici, come nel caso di somme o differenze, ma la rappresentazione vettoriale può ugualmente riuscire molto espressiva.

Riassumendo

Una grandezza sinusoidale può essere rappresentata da un vettore (fasore) di modulo pari all’ampiezza \(A_M\), rotante a velocità angolare \(\omega\) in senso antiorario.
Se più grandezze hanno la stessa frequenza, i relativi fasori ruotano insieme mantenendo costante la differenza di fase.

Rappresentazione vettoriale di grandezze sinusoidali
Figura 4 – Rappresentazione vettoriale con sfasamento \(\varphi\)

Relazioni di fase

  • In fase: \(\varphi = 0\)
  • In quadratura: \(\varphi = 90^\circ\)
  • In opposizione: \(\varphi = 180^\circ\)

Il metodo vettoriale è utilissimo nello studio di circuiti in regime sinusoidale, per operazioni di somma/differenza tra grandezze omogenee e per evidenziare sfasamenti e relazioni di fase.

Forma simbolica

La grandezza elettrica viene in questo caso rappresentata sul piano dei numeri complessi tramite un vettore V che ha il suo punto di applicazione nell’origine degli assi.

Il vettore V può essere definito con le sue due proiezioni sugli assi cartesiani, scrivendo:

V = a + j b

dove \( j = \sqrt{-1} \) è l’operatore immaginario, \( a \) è la parte reale di \( V \), mentre \( b \) è la parte immaginaria di \( V \).
Questa è detta forma binomiale del vettore \( V \).
Dobbiamo immaginare questa rappresentazione come la posizione iniziale del vettore rotante all’istante \( t = 0 \).

Una forma alternativa a quella binomiale è la forma polare:

V = |V| \, e^{j \theta}

dove \( |V| \) è il modulo del vettore (cioè la sua lunghezza), \( \theta \) è la fase iniziale del vettore ed \( e \approx 2.718 \) è il numero di Neper.

La forma binomiale e quella polare sono legate dalle relazioni:

|V| = \sqrt{a^2 + b^2} \qquad\qquad \theta = \arctan\left( \frac{b}{a} \right)

mentre, dalla trigonometria:

a = |V| \cos\theta \qquad\qquad b = |V| \sin\theta

Da queste considerazioni si deduce che possiamo definire una grandezza alternata sinusoidale attraverso almeno tre forme:

  • Forma sinusoidale:
    v(t) = V_m \sin(\omega t + \phi)
  • Forma vettoriale binomiale:
    V = a + j b
  • Forma vettoriale polare:
    V = |V| \, e^{j \theta}

La forma binomiale risulta opportuna per la somma o la differenza fra vettori, mentre la forma polare è preferibile per la moltiplicazione o la divisione fra vettori.

Articoli correlati

Teorema di Miller

Sinusoidi e Fasori

Diagrammi – Elementi di Trigonometria – Vettori