Legge di Coulomb

La legge di Coulomb descrive come si comportano le cariche elettriche nello spazio. In combinazione con il concetto di campo e potenziale, rappresenta un pilastro fondamentale dell’elettrostatica.

La grandezza fisica responsabile dei fenomeni elettrici è la carica elettrica. Essa viene indicata con la lettera Q e la sua unità di misura è il Coulomb [C].
La carica elettrica ha una natura duale, nel senso che esistono due tipi di elettricità: l’elettricità positiva e l’elettricità negativa.
Due corpi elettricamente carichi si respingono se dotati di carica omonima (entrambi di carica positiva o entrambi dotati di carica negativa) si attraggono se dotati di carica eteronima (di segno diverso).
Non tutti i materiali hanno la peculiarità di caricarsi elettricamente o di condurre efficacemente l’elettricità, esistono infatti, materiali nei quali la carica elettrica fluisce con facilità ed essi vengono chiamati conduttori.
Altri materiali non lasciano sfuggire le cariche elettriche ed essi vengono definiti come isolanti.
In generale, un corpo che conduce bene l’elettricità è anche un buon conduttore di calore. Viceversa un pessimo conduttore di elettricità e anche un cattivo conduttore di calore.
Tutti i materiali metallici sono buoni conduttori.
Le plastiche, il vetro, la ceramica, sono isolanti.
Chiaramente l’elettricità ha a che fare con la capacità che hanno gli elettroni che orbitano attorno ai vari atomi di un materiale, a trasferirsi, qualora le condizioni lo permettano, da una regione all’altra dello spazio.
Per questa ragione non è mai stata osservata una carica elettrica di quantità minore alla carica dell’elettrone e=1,6·10^-19 C, si dice quindi, che la carica elettrica ha un carattere granulare ( è quantizzata) ogni quantità è un multiplo intero della carica dell’elettrone “e”.
Abbiamo detto che due corpi carichi entrambi positivamente o negativamente si respingono e che invece, due corpi dotati di carica di segno diverso si attraggono; il fenomeno elettrico si manifesta attraverso una forza meccanica. La formulazione della relazione tra questa forza meccanica e le cariche elettriche che la generano viene descritta dalla legge di Coulomb (1784).

La legge di Coulomb afferma che la forza di attrazione o di repulsione, che si esercita tra due corpi puntiformi elettrizzati, è direttamente proporzionale al prodotto delle quantità di elettricità possedute da due corpi e inversamente proporzionale al quadrato della loro distanza.

Se si indicano con F_ol’intensità della forza ( attrattiva o repulsiva ) che ciascuno dei due corpi esercita sull’altro nel vuoto, con Qe qle loro cariche elettriche e con r la loro distanza, la legge di Coulomb si scrive:

$F_0 = \pm k_0 \cdot \frac{Q \cdot q}{r^2} \qquad \text{con} \qquad k_0 = 9 \cdot 10^9 \, \frac{N \cdot m^2}{C^2}$

dove $k_0$ è un coefficiente di proporzionalità che per definizione è:

$k_0 = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \qquad\boxed{\varepsilon_0 = \text{costante dielettrica del vuoto}} \qquad\varepsilon_0 = \frac{1}{4 \pi k_0} = 8{,}854 \cdot 10^{-12} \, \frac{C^2}{N \cdot m^2}$

Legge di Coulomb nel vuoto:
$k_0 = 9 \cdot 10^9 \, \text{N} \cdot \text{m}^2 / \text{C}^2$

Simulatore forza elettrica

Costanti dielettriche relative $(\varepsilon_r)$

se l’ambiente non è il vuoto, ma uno specifico materiale, bisogna considerare la costante dielettrica relativa ε_r di quel materiale.

$\varepsilon = \varepsilon_0 \varepsilon_r \qquad \text{per cui} \qquad k = \frac{1}{4\pi \varepsilon}$

$F = \pm k \frac{Q \cdot q}{r^2} = \pm \frac{1}{4\pi \varepsilon} \cdot \frac{Q \cdot q}{r^2}$

La direzione della forza F è quella della retta che congiunge i due corpi carichi. Come si vede dalla formula, l’intensità della forza diminuisce rapidamente (col quadrato della distanza) all’aumentare della loro distanza: si riduce a un quarto, a un nono..etc.
La forza espressa è repulsiva per cariche omonime (dello stesso segno) , attrattiva per cariche eteronime (di segno diverso).

Materiale (T=298°K)	Costante dielettrica relativa
Ambra	2,8
Carta	2,1
Legno	3÷7
PVC	4,5
Silicio	12
Vetro	5÷10
Zucchero	3,3
Alcol etilico	24÷26
Ghiaccio	75
Acqua	80
Vapore acqueo	1,00060
aria	1,00056

Il Campo Elettrico

Causa ed effetti dei campi elettrici
Si è visto, parlando di materiali conduttori e isolanti, che esiste un fenomeno di elettrizzazione dei corpi capace di generare delle forze.

Strofinando una bacchetta di ebanite con un panno di lana appesa con uno spago sottile per il suo punto di mezzo, in modo che rimanga orizzontale e nello stesso tempo possa ruotare; si è visto che se le si avvicina ad un estremo un’altra bacchetta di ebanite, anch’essa strofinata con un panno di lana, la bacchetta appesa verrà respinta. È sorto così un campo, nel quale sono state esercitate delle forze su altre cariche.

Il campo elettrico è una regione dello spazio nella quale si esercitano forze elettriche su cariche elettriche.

A secondo del tipo di carica si manifesta attrazione o repulsione. Le cariche costituiscono sempre la causa dei campi elettrici.

Le cariche generano i campi elettrici.

Nei fenomeni d’attrito, a causa di influssi esterni di diverso tipo, si ottengono continuamente cariche diverse, infatti se alla bacchetta di ebanite le avviciniamo una bacchetta di vetro, sempre strofinata, invece di una repulsione si otterrà un’attrazione.

Questo fenomeno lo si può spiegare associando allo strofinio della bacchetta di ebanite una elettrizzazione negativa e a quella della bacchetta di vetro una elettrizzazione di tipo positivo.

Pertanto: cariche elettriche di segno uguale si respingono, cariche di segno opposto si attraggono. In altre parole le cariche opposte presenti su corpi diversi tendono ad annullarsi reciprocamente, poiché esse si attirano e, se i corpi vengono in contatto, si compensano annullandosi.

Rappresentazione dei campi elettrici

I campi elettrici influenzano lo spazio. Noi non possediamo organi sensori adatti ad avvertire tale influenza. Possiamo riconoscerne solo gli effetti e da questi dedurre dei concetti.

Per evidenziare tali effetti vengono, ad esempio, disperse tra gli elettrodi fibre di materiale sintetico. Il campo elettrico causa un certo allineamento delle particelle. La struttura del campo su un piano diventa in tal modo visibile.

Le fibre si allineano solo perché muta, attraverso il campo elettrico, la distribuzione delle cariche nelle fibre. L’induzione elettrostatica fa sì che cariche positive e negative non siano suddivise equamente. La figura mostra una serie di fibre tra due elettrodi. Ogni pezzettino di fibra è diventato bipolare (particelle con due poli).

Le curve orbitali formate dalle fibre sono chiamate linee di forza. Esse rendono possibile un modello di rappresentazione della struttura del campo elettrico.

Dalla figura di pagina precedente hanno origine i seguenti disegni. Essi riproducono in modo ulteriormente semplificato la struttura del campo.

Le linee di forza hanno inoltre indicato un verso. Si è stabilito che vanno dall’elettrodo positivo a quello negativo. Esse entrano ed escono perpendicolarmente.

Le linee di forza del campo elettrico hanno come verso quello che va dal polo positivo a quello negativo.

Dall’illustrazione delle linee di forza si possono trarre ulteriori leggi riguardanti il campo elettrico. A tale scopo si considerano due diversi campi generati da superfici di ugual misura.

Per la parte delle superfici di campo messe in rilievo nella figura più in alto, le linee di forza corrono parallele tra le piastre. Il campo è costante. Perciò sono costanti anche gli effetti dinamici sulle cariche, che vengono portate nel campo. Si parla di un campo uniforme.

Se le linee di forza corrono parallele e hanno tutte la stessa distanza, il campo elettrico si dice uniforme.

Nella figura di sotto le linee di forza non corrono parallele. Il campo perciò non è costante, è non uniforme.

Se paragoniamo ora, alla luce di questa definizione, il campo tra la punta e l’elettrodo piano della figura di pagina precedente, riconosciamo che si tratta proprio di un campo non uniforme. Inoltre, sulla punta le linee di forza sono molto più fitte che nel campo esterno. Con ciò si spiega come mai il campo sia più intenso in questa area, rispetto ad altre zone. In tali zone è più facile arrivare a una fuoriuscita di elettroni.

La distanza delle linee di forza è un indice dell’intensità del campo elettrico.

Intensità del campo elettrico

Per poter fare affermazioni precise sui campi elettrici, si devono introdurre determinate grandezze. Siccome il campo elettrico esercita una determinata azione, è l’intensità di questa azione, cioè l’intensità del campo elettrico, una di tali grandezze.

L’azione della forza esercitata sulle cariche viene utilizzata per la determinazione dell’intensità del campo elettrico.

Per la dimostrazione delle relazioni sono adatti campi uniformi. Questi sono presenti tra piastre parallele, collegate a un generatore di tensione. Strumenti di questo tipo sono chiamati condensatori e le piastre sono chiamate armature.

Poiché il campo, al suo interno, ha in ogni suo punto la stessa intensità (campo uniforme, linee di forza parallele alla stessa distanza), anche l’effetto della forza esercitata dal campo sulle cariche deve essere uguale in ogni punto.

Se portiamo in questo campo una sfera carica, il suo spostamento è indice dell’effetto di una forza.

Questo effetto è tanto più grande quanto più grande è la carica.

Una valutazione più precisa è data dalla proporzione:

F ~ Q

Questa si trasforma in una equazione con l’aggiunta di una costante:

F = k · Q

Se si risolve l’equazione secondo k, si ottiene:

Questa relazione dimostra che coll’aumentare della carica aumenta anche la forza. Se, ad esempio, si raddoppia la carica anche la forza diventa doppia. In ogni caso il rapporto rimane costante. Questa costante viene quindi determinata solo dal campo in cui si manifesta l’effetto della forza. Viene chiamata intensità del campo elettrico.

Intensità del campo elettrico

Parlando di lavoro ed energia si era introdotto concetto di energia potenziale, riferendolo al caso di un oggetto tenuto sospeso, soggetto all’attrazione gravitazionale che appena è lasciato libero, cade. Ciò vuol dire che la terra produce un campo gravitazionale che attira gli altri corpi, in analogia con il caso delle cariche elettriche. Esiste quindi, sempre per analogia, una energia potenziale elettrostatica dei campi elettrici e la possibilità di ricavarne lavoro. Poiché il lavoro ricavabile dipende, nel caso elettrico, dalla differenza di potenziale oltre che dalla carica elettrica in gioco, allora in un campo elettrico esiste una differenza di potenziale fra due corpi elettrizzati di polarità opposte che sarà corrispondente alla tensione misurabile fra di essi. Ma se si considera una carica posta in un punto intermedio fra i due, è evidente che la sua d.d.p. rispetto ai corpi che generano il campo, avrà un valore intermedio decrescente dalla carica positiva alla negativa, come decresce l’energia potenziale di un oggetto man mano che lo avviciniamo al suolo, cioè al punto verso il quale è attratto. Poiché l’andamento delle linee di forza del campo elettrico non è sempre lineare, la d.d.p. tra vari punti non è sempre la stessa. Pertanto si ha che:Da cui si deduce che:

l’intensità del campo è proporzionale alla tensione. Quanto più grande è la tensione tanto maggiore è l’intensità del campo.

k ~ V

Questo appare evidente perché, a tensione crescente, cresce il numero delle cariche sulle armature, cariche che sono le sorgenti del campo.

l’intensità del campo diminuisce a distanza crescente dalle armature. Quanto più lunghe sono le linee del campo, tanto più piccola diventa l’intensità del campo stesso.

Una precisa valutazione mostra che l’intensità del campo e la distanza sono inversamente proporzionali.

La tensione e la distanza delle armature sono determinanti per l’intensità del campo del condensatore. Se si uniscono entrambe le proporzioni si ottiene: L’unità di misura dell’intensità del campo elettrico è pari a: Oppure i multipli:

Pertanto si ha:

$\vec{E} = \frac{\vec{F}}{q} \quad \left[ \frac{N}{C} \right]$

ovviamente è anche:

$\vec{E} = \frac{F}{q} = \left( \frac{1}{4 \pi \varepsilon} \cdot \frac{Q \cdot q}{r^2} \right) \cdot \frac{1}{q} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon} \cdot \frac{Q}{r^2} = k \cdot \frac{Q}{r^2}$

mentre nel vuoto si ha:

$\vec{E} = k_0 \cdot \frac{Q}{r^2}$

Per la carica elettrica viene, dunque, definito il vettore campo elettrico come:

L’intensità del campo elettrico indica quanto è grande, nel campo, la forza esercitata su una carica.

Parallelismo tra legge di Coulomb e legge di gravitazione universale

Essendo la legge di Coulomb formalmente identica alla legge di gravitazione universale, è facile realizzare il seguente parallelismo:

	Legge di Coulomb	Legge di gravitazione	Significato fisico
Forza	$\vec{F} = \pm k \cdot \frac{Q \cdot q}{r^2}$	$\vec{F} = G \cdot \frac{M \cdot m}{r^2}$	Forza
Campo	$\vec{E} = \frac{\vec{F}}{q}$	$\vec{g} = \frac{\vec{F}}{m}$	Campo
Energia potenziale	$U = q \, E \, d$	$E_p = m \, g \, h$	Energia potenziale

Il campo generato da più di una carica, ad esempio dalle due cariche Q₁ e Q₂ è necessariamente la composizione vettoriale dei campi generati dalle due cariche.

Ipotizzando come carica di prova un protone ( carica positiva ). Si hanno delle varianti a secondo dell’intensità e del segno delle cariche circostanti come riportano nel seguente simulatore.

Dato che le forze a cui è soggetta la carica campione q sono:

$\vec{F} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2 \qquad \text{con il vettore campo} \\\\ \vec{E} = \frac{\vec{F}}{q} = \frac{\vec{F}_1 + \vec{F}_2}{q} = \frac{\vec{F}_1}{q} + \frac{\vec{F}_2}{q} = \vec{E}_1 + \vec{E}_2$

Come nel caso del campo gravitazionale, un campo elettrico può essere rappresentato da linee di forza . Queste linee sono disegnate in modo da essere tangenti in ogni punto alla direzione del campo elettrico in quel punto.

Un campo elettrico uniforme ha dappertutto la stessa intensità e direzione di conseguenza un campo elettrico uniforme è rappresentato da linee di forza parallele.
Un metodo classico per realizzare un campo elettrico uniforme è quello di caricare due lastre metalliche parallele con cariche uguali ma di segno opposto

Riscriviamo la legge di Coulomb (nel vuoto) nella seguente forma: $\vec{F} = q \cdot \left( k_0 \cdot \frac{Q}{r^2} \right)$

esprime la forza esercitata dalla carica Q sulla carica q posta a distanza r da Q, se volessimo usare la relazione del campo dobbiamo assumere

$E = k_0 \cdot \frac{Q}{r^2} \quad \Longrightarrow \quad E = 9 \cdot 10^9 \, \frac{Q}{r^2}$

in modulo, mentre in forma vettoriale: $\vec{E} = \pm 9 \cdot 10^9 \, \frac{Q}{r^2} \cdot \vec{\mu}_r$

con versore $\vec{\mu}_r$ in direzione radiale uscente rispetto la carica Q se questa è positiva, entrante se negativa.

Potenziale elettrico

Si è accennato prima che il campo elettrico è caratterizzato da una energia potenziale

Nel campo gravitazionale per portare una massa m dal suolo ad una altezza h, è necessario usare una forza esterna -p uguale e contraria al peso capace di compiere il lavoro

$L = -ph = mgh$

Nel campo elettrico per portare la carica di prova q ad una distanza d dalla carica fissa Q è necessario l’intervento di una forza -F uguale e contraria alla forza del campo e capace di fare un lavoro

$L = -Fd = qEd$

In entrambi i casi il lavoro compiuto dalla forza esterna viene immagazzinata dal corpo sotto forma di energia potenziale U quindi

U=mgh per il campo gravitazionale
U=qEd per il campo elettrico

La particella, possiede una energia potenziale perché il campo compie un lavoro quando sposta la particella da una posizione ad un’altra percorrendo la distanza d.
Il potenziale elettrico in un punto del campo è definito come il rapporto fra l’energia potenziale e la carica della particella in quel punto:

$V = \frac{U}{q}$

Si nota come sia anche

$V = \frac{\cancel{q} \cdot E \cdot d}{\cancel{q}} = E d$

in termini vettoriali

$V = \vec{E} \cdot \vec{d}$

questa formula è la relazione fra potenziale e campo.

Per questo motivo, il campo può essere espresso come [ V/m ] (volt su metro).

Il potenziale può essere dunque interpretato come il lavoro svolto dal campo E per spostare la carica q di uno spostamento d.

sappiamo che il meccanica il lavoro viene definito come forza×spostamento

$L = F \cdot s = F \cdot (d_2 - d_1)$ mentre il campo elettrico è definito come

$\vec{E} = \frac{\vec{F}}{q} \quad \Rightarrow \quad \vec{F} = q\vec{E}$ sostituendo questa forza F nell’equazione del lavoro

$L = qE(d_2 - d_1) \quad \Rightarrow \quad L = q(Ed_2 - Ed_1) = q(V_2 - V_1)$

Il lavoro compiuto dalla forza elettrica F per portare la carica q dal punto 1 al punto 2 è uguale al prodotto fra il valore della carica e la differenza di potenziale fra i due punti.
Si vede come per una carica di valore unitario q=1C il lavoro compiuto da F coincide con la differenza di potenziale fra la posizione finale e quella iniziale.

Val la pena riassumere

Quando si tiene conto della massa delle cariche in movimento non bisogna dimenticarsi della legge di Newton F=ma. Per gli spostamenti diretti secondo le linee del campo si ha la relazione:

L’intensità del campo nel condensatore è dovuta alla sua struttura e al generatore di tensione a cui è collegato. Tra queste grandezze e l’intensità del campo deve esserci una relazione.

La distanza delle armature non può essere ridotta a piacere, perché altrimenti si giunge ad una scarica. L’aria, ad alti valori di tensione, no agisce più come isolante. La rigidità dielettrica dell’aria è di circa . Questo significa che con una tensione di circa 3,2 kV e ad una distanza di circa 1 mm avviene una scarica.

Si è supposto finora che un corpo può essere caricato per strofinio. Vediamo adesso come un conduttore può essere caricato anche per induzione elettrostatica. Se nel campo del conduttore elettrizzato A ci portiamo un corpo metallico B isolato ed allo stato neutro, questo si elettrizza per induzione assumendo cariche di segno contrario a quelle del conduttore A sulla superficie ad esso affacciata e cariche dello stesso segno sulla superficie più lontana.

Ciò è dovuto al fatto che gli elettroni liberi del corpo indotto B subiscono la forza del campo elettrico andando ad accumularsi in superficie ad una sua estremità mentre l’altra risulterà positiva per la perdita degli elettroni. Se il conduttore B, caricato per induzione, viene collegato a terra, le sue cariche dello stesso segno di quelle del conduttore inducente A emigrano verso la terra, per cui B rimarrà elettrizzato (finché perdura l’azione del campo creato dal corpo conduttore A) con cariche di segno contrario a quelle di A. L’induzione elettrostatica su un campo metallico è constatabile anche se è posto all’interno di un campo elettrico uniforme. In seno al conduttore gli elettroni si muovono portandosi verso l’estremo più vicino al polo positivo del campo. Naturalmente, se il conduttore viene estratto dal campo, gli elettroni non sono più soggetti alla forza coulombiana di attrazione e tendono a riportarsi in una distribuzione uniforme.

Schermatura di campi elettrici

I campi elettrici, in molti impianti, svolgono un’azione di disturbo, perché causano, per induzione, uno spostamento di cariche e perciò una tensione. Per questo motivo si devono eseguire delle schermature. Ciò è dovuto a quanto si è detto a proposito della distribuzione di cariche elettriche entro i conduttori immersi in un campo elettrico: nell’interno dei conduttori non si può avere mai un campo elettrico. Infatti se ciò non fosse vero, all’interno del conduttore esisterebbero delle d.d.p. e quindi le cariche elettriche, trattandosi di un conduttore, sarebbero sollecitate a spostarsi annullando quindi il campo stesso. Le cariche elettriche quindi si accumulano sempre alla superficie dei conduttori e vi occupano uno strato tanto più sottile quanto maggiore è il potenziale al quale il conduttore si trova.

Il fatto che all’interno dei conduttori non esiste campo elettrico viene sfruttato per costruire degli schemi elettrostatici, come la gabbia di Faraday, costituiti da una parte metallica che si pone a protezione di apparecchiature delicate per evitare che siano influenzate da campi elettrici esterni.

01-Il Campo Elettrico

Legge di Coulomb

Simulatore forza elettrica

Costanti dielettriche relative $(\varepsilon_r)$

Intensità del campo elettrico

Parallelismo tra legge di Coulomb e legge di gravitazione universale

Potenziale elettrico

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02-Il condensatore

03-Collegamenti di condensatori