Potenza apparente – Teorema di Boucherot

Quando in un circuito la corrente è sfasata di un angolo \(\varphi\) rispetto alla tensione, alla componente di corrente in fase con la tensione si associa la potenza attiva, mentre alla componente in quadratura si associa la potenza reattiva. In corrente continua, con \(\cos\varphi=1\) e \(\sin\varphi=0\), la potenza è solo attiva e le perdite di linea dipendono dalla corrente (effetto Joule). In alternata, con sfasamento, la potenza attiva è proporzionale a \(I\cos\varphi\) ma le perdite ohmiche dipendono comunque dal valore efficace totale della corrente (quindi includono anche la componente in quadratura \(I_q=I\sin\varphi\)).
Nella tecnica delle correnti alternate, accanto a \(P\) e \(Q\), si usa una terza grandezza: la potenza apparente \(S\).
La potenza apparente, indicata con S (talvolta Pa), è definita dal prodotto dei valori efficaci di tensione e corrente:

S = V\,I \quad \text{[VA]}

e viene misurata in voltampere (simbolo VA) quando tensione e corrente sono rispettivamente in Volt e in Ampere. L’introduzione di questa grandezza nello studio delle correnti alternate è giustificata dal fatto che costituisce un parametro di grande utilità in talune importanti applicazioni pratiche: ad esempio macchinari elettrici, impianti elettrici, misure, ecc…
Un’impedenza o un circuito di determinate caratteristiche che assorbe la corrente I e ai suoi capi ha applicata la tensione V, presenta in generale un certo valore di potenza attiva, reattiva e apparente.
Le relazioni trigonometriche, poi, della potenza apparente (Pa = V·I), della potenza reale o attiva (P = V·I·cos φ), e della potenza reattiva (Q = V·I·sen φ), dimostrano che le tre stanno tra loro come l’ipotenusa ed i cateti di un triangolo rettangolo: il triangolo delle potenze.
Osservando la figura 1 possiamo anche ricavare, dal teorema di Pitagora, la seguente espressione:

S^2 = P^2 + Q^2

triangolopotenze

da cui otteniamo la definizione di fattore di potenza e, dalla trigonometria:

cos\varphi=\frac{P}{S}.

il rapporto tra la potenza attiva P e quella apparente S.
Alcuni tipi di carico (ad esempio le lampade ad incandescenza, i fornelli ed in genere tutti gli apparecchi per riscaldamento costituiti da un resistore) che richiedono una corrente in fase con la tensione, hanno fattore di potenza praticamente uguale a uno: il generatore deve erogare per loro solo potenza attiva.
Altri tipi, come i motori, le lampade fluorescenti ed in genere gli utilizzatori che producono dei campi magnetici, richiedono una corrente sfasata in ritardo rispetto alla tensione, per cui si avrà una potenza attiva ed una reattiva con un fattore inferiore ad uno, e quindi una potenza apparente somma vettoriale delle due.
Il caso di carichi capacitivi, con correnti in anticipo sulla tensione, è in pratica molto più raro.

Le convenzioni di segno sono:

  • \(Q>0\) (induttivo): corrente in ritardo su tensione.
  • \(Q<0\) (capacitivo): corrente in anticipo su tensione.

Ricaviamo ora delle espressioni per le potenze da utilizzare quando conosciamo i parametri di un circuito, o di un tronco di esso. Questo, come sappiamo, è rappresentabile in regime sinusoidale mediante un’impedenza o ammettenza equivalente.
Considerando il primo caso, abbiamo già visto che per la potenza attiva vale l’eguaglianza:

\displaystyle P = V I \cos\varphi = RI^{2}

allo stesso modo possiamo associare alle reattanze la potenza reattiva in gioco:

\displaystyle QV I \sin\varphi = XI^{2}

per la potenza apparente abbiamo quindi:

\displaystyle S=\sqrt{P^{2}+Q^{2}}=I^{2}\sqrt{R^{2}+X^{2}}=A\,I^{2}

In altri termini, per i parametri del circuito equivalente serie, possiamo esprimere le potenze sia in funzione di questi sia in funzione della corrente elevata al quadrato.
Considerando il secondo caso (circuito equivalente parallelo) che si presenta quando gli elementi circuitali possono essere descritti da una conduttanza G, da una suscettanza B e quindi complessivamente da un’ammettenza Y, le potenze possono essere espresse in funzione del quadrato della tensione:

P = V I \cos\varphi = GV^{2}

\displaystyle QV I \sin\varphi = BI^{2}

\displaystyle S=\sqrt{P^{2}+Q^{2}}=V^{2}\sqrt{G^{2}+B^{2}}=Y\,V^{2}

La risoluzione dei circuiti elettrici attraverso le espressioni delle potenze sarà compresa alla luce delle considerazioni che faremo sul triangolo delle potenze.
In un circuito costituito da più tronchi (o più impedenze) che impegnano rispettivamente le potenze attive P1, P2, P3… e reattive Q1, Q2, Q3…, la potenza attiva totale Pt è calcolabile come somma delle singole potenze e la potenza reattiva totale Qt è data dalla somma algebrica delle singole potenze reattive. Questo è possibile perché i vettori che rappresentano sia le potenze attive (P1, P2, P3 …), che le reattive (Q1, Q2, Q3…), hanno la stessa direzione.
Possiamo quindi scrivere:

Pt = P1 + P2 + P3 + …

Qt = Q1 ± Q2 ± Q3 ± …

La potenza apparente totale Sat, è invece data come somma vettoriale delle potenze apparenti dei singoli tronchi (impedenza).
Possiamo scrivere cioè:

\displaystyle \overline{S}_{\mathrm{at}} \;=\; \overline{P}_{\mathrm{a}1} \;+\; \overline{P}_{\mathrm{a}2} \;+\; \overline{P}_{\mathrm{a}3} \;+\; \cdots

La potenza apparente totale in valore può essere calcolata comunque sempre con la seguente formula:

\displaystyle S_{t}=\sqrt{P_{t}^{2}+Q_{t}^{2}}

Le relazioni scritte per le potenze attive e reattive sono ricavabili dai due enunciati di Boucherot.

  1. In una rete comunque complessa, costituita da generatori e utilizzatori, la somma delle potenze attive erogate dai generatori eguaglia la somma delle potenze attive assorbite dagli utilizzatori.
  2. La somma algebrica delle potenze reattive erogate dai generatori eguaglia la somma algebrica delle potenze reattive assorbite dagli utilizzatori.

Espresso in tal modo il teorema di Boucherot può intendersi come un corollario del principio di conservazione dell’energia.
Questo teorema inoltre stabilisce un metodo di calcolo particolarmente semplice per i circuiti elettrici, in quanto richiede soltanto somme aritmetiche o algebriche. Per tale motivo è sempre consigliabile sviluppare i calcoli per via energetica tutte le volte che ciò è possibile.
Qualche esempio chiarirà quanto detto.Sia dato il circuito riportato in figura 2. Proponiamoci di calcolare la potenza attiva, reattiva e apparente assorbita e il fattore di potenza complessivo.

circuito1

Calcolo di P, Q, S e fattore di potenza

La potenza attiva del tronco è la somma delle potenze dissipate dalle due resistenze R1 e R2:

P_{\text{tot}} = R_1\,I_1^{2} + R_2\,I_2^{2} = 10\cdot 2^{2} + 30\cdot 0{,}894^{2} = 40 + 24 = \mathbf{64\ \text{W}}.

La potenza reattiva è dovuta all’induttanza e alla capacità. Assumendo positiva la potenza reattiva induttiva e negativa quella capacitiva:

Q_{\text{tot}} = X_{L}\,I_1^{2} - X_{C}\,I_2^{2} = 10\cdot 2^{2} - 10\cdot 0{,}894^{2} = 40 - 8 = \mathbf{32\ \text{VAR}}.

La potenza apparente totale vale:

S_{\text{tot}} = \sqrt{P_{\text{tot}}^{2} + Q_{\text{tot}}^{2}} = \sqrt{64^{2} + 32^{2}} \approx \mathbf{71{,}6\ \text{VA}}.

Infine, il fattore di potenza complessivo è:

\cos\varphi = \frac{P_{\text{tot}}}{S_{\text{tot}}} = \frac{64}{71{,}6} \approx \mathbf{0{,}89}. [/latex]

Il triangolo delle potenze è:

Un artigiano vuole collegare a una presa a 220V, 50Hz che può dare sino a 25A, i seguenti utilizzatori:

  • una stufa da essiccamento 220V, 2kW cos φ = 1
  • illuminazione, complessiva 220V, 500W cos φ = 1
  • un motore a c.a. 220V, 1,7A cos φ = 0,8
  • un motore a c.a. 220V, 2kVA cos φ = 0,7

È sufficiente questo tipo di presa per allacciarvi contemporaneamente tutti gli utilizzatori?

Verifica della presa 220 V / 25 A

Carichi collegati in parallelo alla rete 220 V, 50 Hz:

  • Stufa: 2 kW, cos φ = 1
  • Illuminazione: 500 W, cos φ = 1
  • Motore 1: 1,7 A, cos φ = 0,8
  • Motore 2: 2 kVA, cos φ = 0,7

Calcoli

Stufa e illuminazione (puramente attivi)

P_{\text{stufa}}=2000\ \text{W},\quad P_{\text{ill}}=500\ \text{W},\quad Q=0.

Motore 1 (fornita la corrente):

S_1 = V I_1 = 220\cdot 1{,}7 = 374\ \text{VA},\qquad P_1 = S_1\cos\varphi_1 = 374\cdot 0{,}8 = 299{,}2\ \text{W},\\ Q_1 = S_1\sin\varphi_1 = 374\sqrt{1-0{,}8^2} \approx 224{,}4\ \text{var}.

Motore 2 (fornita la potenza apparente):

S_2 = 2000\ \text{VA},\qquad P_2 = S_2\cos\varphi_2 = 2000\cdot 0{,}7 = 1400\ \text{W},\\ Q_2 = S_2\sin\varphi_2 = 2000\sqrt{1-0{,}7^2} \approx 1428{,}3\ \text{var}.

Somma delle potenze (in parallelo si sommano P e Q):

P_{\text{tot}} = 2000 + 500 + 299{,}2 + 1400 = 4199{,}2\ \text{W},\\ Q_{\text{tot}} = 224{,}4 + 1428{,}3 = 1652{,}7\ \text{var}.

Potenza apparente e corrente totali:

S_{\text{tot}} = \sqrt{P_{\text{tot}}^{2}+Q_{\text{tot}}^{2}} = \sqrt{4199{,}2^{2}+1652{,}7^{2}} \approx 4512{,}7\ \text{VA},\\ I_{\text{tot}} = \frac{S_{\text{tot}}}{V} = \frac{4512{,}7}{220} \approx \mathbf{20{,}5\ \text{A}},\qquad \cos\varphi_{\text{tot}}=\frac{P_{\text{tot}}}{S_{\text{tot}}}\approx 0{,}93.

Risposta

Sì, la presa da 25 A è sufficiente ad alimentare contemporaneamente tutti gli utilizzatori:
la corrente richiesta è circa 20,5 A, inferiore al limite di 25 A.

(Nota pratica: i motori assorbono correnti di spunto superiori a quelle nominali per pochi istanti; se la protezione è molto “stretta”, valutare il margine o l’uso di avviamento dolce.)

Il triangolo delle potenze è:

Tabella di riepilogo

Tipo di potenza Formula Unità di misura
Attiva (P) P = V \cdot I \cdot \cos\varphi Watt (W)
Reattiva (Q) Q = V \cdot I \cdot \sin\varphi Volt-Ampere Reattivi (VAR)
Apparente (S) S = V \cdot I Volt-Ampere (VA)

 

 

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