Circuiti reali

Dopo aver analizzato i circuiti elementari che, per quanto visto, sono generalmente frutto di una idealizzazione, passiamo a considerare diversi tipi di circuiti reali descritti dai loro parametri equivalenti. Ovviamente la conoscenza dei circuiti ideali ci tornerà utile in questo studio.

Qualsiasi elemento reale ha più possibilità di essere descritto: talvolta può essere rappresentato da una resistenza e una reattanza induttiva, oppure da una resistenza e una reattanza capacitiva o, più un generale, da tutti e tre gli elementi. Ad esempio se consideriamo una bobina, essa presenta sia un certo valore di resistenza che di induttanza; una linea elettrica ha un valore di resistenza, uno di induttanza e uno di capacità.

In realtà è impossibile separare fisicamente i diversi elementi: una bobina che come sappiamo costituisce un induttore reale, in realtà eseguendo delle misure, presenta sia un valore di resistenza che di induttanza; evidentemente il conduttore che costituisce la bobina “contiene” entrambi i parametri.

È soprattutto dal punto di vista del calcolo che torna utile scomporre l’elemento reale in più parametri ideali definendo così un circuito equivalente. Due circuiti si dicono equivalenti quando sottoposti alla stessa tensione con la stessa frequenza, vengono percorsi da due correnti uguali in ampiezza e fase.

Descriviamo allora un qualsiasi elemento reale con un circuito equivalente in cui coesistono la resistenza totale R e la reattanza totale X del circuito reale sulle quali, per quanto abbiamo appreso dallo studio dei circuiti ideali, la tensione applicata si suddivide nelle due componenti, rispettivamente in fase e in quadratura con la corrente. Complessivamente quindi la tensione sarà sfasata rispetto alla corrente di un angolo generico φ.

Richiamando le nozioni apprese sul calcolo vettoriale, con il supporto delle relazioni trigonometriche sui triangoli rettangoli, possiamo ricavare le componenti del vettore tensione:

R·I = V·cos φ e X·I = V·sen φ

vettoretensione

Considerando ancora il triangolo rettangolo comprendente l’angolo φ di figura 1, osserviamo che un cateto è proporzionale a R e l’altro a X; possiamo quindi considerare anche il triangolo simile riportato in figura 1b. Per il teorema di Pitagora, l’ipotenusa sarà in questo caso:

impedenza

Il termine Z viene chiamato impedenza del circuito ed è misurato in ohm come la resistenza e la reattanza. Confrontando le due figure vediamo la proporzionalità tra il vettore V della prima e l’impedenza Z della seconda. Possiamo quindi scrivere:

tensionevettore

È questa l’espressione generale della legge di Ohm in corrente alternata adatta allo studio dei circuiti equivalenti di elementi reali.

È importante quindi osservare ancora che mentre per le correnti continue si ha solo un elemento passivo, la resistenza, su cui la corrente non influisce se non per l’eventuale effetto termico, per le correnti alternate l’elemento passivo è l’impedenza, che dipende oltre che dalle caratteristiche del circuito, anche dalla frequenza della corrente che percorre il circuito stesso.

Osserviamo ancora che, una volta conosciute le resistenze pure parziali e le reattanze pure parziali, la resistenza totale sarà uguale alla somma aritmetica delle resistenze, mentre la reattanza totale sarà uguale alla somma algebrica delle reattanze, considerate positive o negative, a secondo che siano induttive o capacitive.

Abbiamo finora immaginato un circuito reale scomposto in due elementi globali, collegati tra loro in serie e quindi percorsi dalla stessa corrente. Lo stesso circuito può essere immaginato scomposto nei due elementi equivalenti visti sopra ma collegati in parallelo cioè sottoposti entrambi alla medesima tensione. In questo caso è la corrente che si suddividerà in due componenti, una in fase con la tensione e una in quadratura.

In questo caso è più opportuno introdurre altre grandezze che meglio si adattano allo studio dei circuiti in parallelo. Osservando la figura 3 si ha, per la componente della corrente in fase con la tensione:

 

isen

icos

e ricordando che:

conduttanza

(conduttanza), possiamo scrivere:

icosgv

Analogamente per la componente in quadratura si ha:

isenbv

in cui la grandezza

suscettanza

è detta suscettanza.

Tanto la conduttanza che la suscettanza vengono espresse in siemens (S), ma mentre la prima è sempre positiva, la seconda ha il segno della reattanza.

Complessivamente il vettore corrente I si lega alla tensione V con la relazione:

iyv

L’inverso dell’impedenza

yz

è detta ammettenza Y del circuito; misurata, ovviamente in siemens come le grandezze prima viste.

Le definizioni della conduttanza e della suscettanza sono state date riferendole ad elementi puri già scomposti, senza tener conto di tutti gli elementi equivalenti presenti nel circuito.

In generale la conduttanza sarà data invece dalla relazione:

conduttanzarg

mentre la suscettanza da:

suscettanzaxz

Osserviamo infatti, che mentre per i circuiti a corrente continua la conduttanza è in ogni caso reciproca della resistenza, nei circuiti a corrente alternata la conduttanza implica il concetto di circuito equivalente in quanto è il reciproco della resistenza di questo.

Solo se il circuito primitivo fosse sprovvisto di reattanza, la conduttanza coinciderebbe con l’inverso della resistenza: essendo Z = R abbiamo:

rz

In questo caso, però anche il circuito equivalente coinciderebbe con quello primitivo. Le stesse considerazioni valgono per la suscettanza.

Per quanto detto i vettori G·V, B·V, Y·V sono i lati di un triangolo rettangolo simile al triangolo di lati G, B, Y.

triangoloammettenza

Osserviamo inoltre che tutti i triangoli che siamo venuti via via considerando e che chiameremo per brevità triangoli della tensione, dell’impedenza, della corrente e dell’ammettenza, sono simili. Infatti il secondo si ottiene dal primo dividendo tutti i lati per I, il terzo dal primo dividendo per Z e il quarto dal terzo dividendo per V.

Questa similitudine consente, tra l’altro, di ricavare le espressioni delle funzioni trigonometriche dell’angolo φ, da uno qualsiasi di questi triangoli.

Dal triangolo dell’impedenza si può ricavare:

sencostg

e servendoci delle tavole trigonometriche possiamo ottenere l’angolo φ.

Analogamente dal triangolo dell’ammettenza:

cosfigy

e quindi sempre dalle tavole, l’angolo φ.

Riportiamo un esempio di calcolo dei due circuiti equivalenti esaminati.

Se un motore, descritto attraverso il circuito equivalente serie, alla tensione di alimentazione di 220 V, frequenza 50 Hz, assorbe una corrente di 8 A con un cos φ = 0,8, quale è la sua impedenza Z e le sue resistenze equivalenti R e XL?

Dalla legge di Ohm ricaviamo:

zvi

Dalle tabelle otteniamo che per cos φ = 0,8 si ha φ = 37° e quindi:

sefi06

Allora:

rzcos

xlsen

Il motore agisce quindi come una resistenza di 22Ω ed una reattanza induttiva XL di 16,5Ω collegate in serie, assorbendo una corrente di 8 A.

Se ora vogliamo descrivere la macchina attraverso il circuito equivalente parallelo si può procedere nel seguente modo:

yv

gy

bly

rg

xl

Le stesse relazioni si possono trovare anche seguendo un’altra via. Conoscendo l’impedenza del circuito serie si ha:

yz36

grz

blxz

e quindi R e XL con i calcoli eseguiti sopra.

Il motore agisce quindi come una resistenza di 34,4Ω ed una reattanza induttiva XL = 45,8Ω collegate in parallelo, assorbendo sempre una corrente di 8 A.

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In realtà è impossibile separare fisicamente i diversi elementi: una bobina che come sappiamo costituisce un induttore reale, in realtà eseguendo delle misure, presenta sia un valore di resistenza che di induttanza; evidentemente il conduttore che costituisce la bobina “contiene” entrambi i parametri. È soprattutto dal punto di vista del calcolo che torna utile scomporre l’elemento reale in più parametri ideali definendo così un circuito equivalente. Due circuiti si dicono equivalenti quando sottoposti alla stessa tensione con la stessa frequenza, vengono percorsi da due correnti uguali in ampiezza e fase. Descriviamo allora un qualsiasi elemento reale con un circuito equivalente in cui coesistono la resistenza totale R e la reattanza totale X del circuito reale sulle quali, per quanto abbiamo appreso dallo studio dei circuiti ideali, la tensione applicata si suddivide nelle due componenti, rispettivamente in fase e in quadratura con la corrente. Complessivamente quindi la tensione sarà sfasata rispetto alla corrente di un angolo generico φ. Richiamando le nozioni apprese sul calcolo vettoriale, con il supporto delle relazioni trigonometriche sui triangoli rettangoli, possiamo ricavare le componenti del vettore tensione: R·I = V·cos φ e X·I = V·sen φ Considerando ancora il triangolo rettangolo comprendente l’angolo φ di figura 1, osserviamo che un cateto è proporzionale a R e l’altro a X; possiamo quindi considerare anche il triangolo simile riportato in figura 1b. Per il teorema di Pitagora, l’ipotenusa sarà in questo caso: Il termine Z viene chiamato impedenza del circuito ed è misurato in ohm come la resistenza e la reattanza. Confrontando le due figure vediamo la proporzionalità tra il vettore V della prima e l’impedenza Z della seconda. Possiamo quindi scrivere: È questa l’espressione generale della legge di Ohm in corrente alternata adatta allo studio dei circuiti equivalenti di elementi reali. È importante quindi osservare ancora che mentre per le correnti continue si ha solo un elemento passivo, la resistenza, su cui la corrente non influisce se non per l’eventuale effetto termico, per le correnti alternate l’elemento passivo è l’impedenza, che dipende oltre che dalle caratteristiche del circuito, anche dalla frequenza della corrente che percorre il circuito stesso. Osserviamo ancora che, una volta conosciute le resistenze pure parziali e le reattanze pure parziali, la resistenza totale sarà uguale alla somma aritmetica delle resistenze, mentre la reattanza totale sarà uguale alla somma algebrica delle reattanze, considerate positive o negative, a secondo che siano induttive o capacitive. Abbiamo finora immaginato un circuito reale scomposto in due elementi globali, collegati tra loro in serie e quindi percorsi dalla stessa corrente. Lo stesso circuito può essere immaginato scomposto nei due elementi equivalenti visti sopra ma collegati in parallelo cioè sottoposti entrambi alla medesima tensione. In questo caso è la corrente che si suddividerà in due componenti, una in fase con la tensione e una in quadratura. In questo caso è più opportuno introdurre altre grandezze che meglio si adattano allo studio dei circuiti in parallelo. Osservando la figura 3 si ha, per la componente della corrente in fase con la tensione:   e ricordando che: (conduttanza), possiamo scrivere: Analogamente per la componente in quadratura si ha: in cui la grandezza è detta suscettanza. Tanto la conduttanza che la suscettanza vengono espresse in siemens (S), ma mentre la prima è sempre positiva, la seconda ha il segno della reattanza. Complessivamente il vettore corrente I si lega alla tensione V con la relazione: L’inverso dell’impedenza è detta ammettenza Y del circuito; misurata, ovviamente in siemens come le grandezze prima viste. Le definizioni della conduttanza e della suscettanza sono state date riferendole ad elementi puri già scomposti, senza tener conto di tutti gli elementi equivalenti presenti nel circuito. In generale la conduttanza sarà data invece dalla relazione: mentre la suscettanza da: Osserviamo infatti, che mentre per i circuiti a corrente continua la conduttanza è in ogni caso reciproca della resistenza, nei circuiti a corrente alternata la conduttanza implica il concetto di circuito equivalente in quanto è il reciproco della resistenza di questo. Solo se il circuito primitivo fosse sprovvisto di reattanza, la conduttanza coinciderebbe con l’inverso della resistenza: essendo Z = R abbiamo: In questo caso, però anche il circuito equivalente coinciderebbe con quello primitivo. Le stesse considerazioni valgono per la suscettanza. Per quanto detto i vettori G·V, B·V, Y·V sono i lati di un triangolo rettangolo simile al triangolo di lati G, B, Y. Osserviamo inoltre che tutti i triangoli che siamo venuti via via considerando e che chiameremo per brevità triangoli della tensione, dell’impedenza, della corrente e dell’ammettenza, sono simili. Infatti il secondo si ottiene dal primo dividendo tutti i lati per I, il terzo dal primo dividendo per Z e il quarto dal terzo dividendo per V. Questa similitudine consente, tra l’altro, di ricavare le espressioni delle funzioni trigonometriche dell’angolo φ, da uno qualsiasi di questi triangoli. Dal triangolo dell’impedenza si può ricavare: e servendoci delle tavole trigonometriche possiamo ottenere l’angolo φ. Analogamente dal triangolo dell’ammettenza: e quindi sempre dalle tavole, l’angolo φ. Riportiamo un esempio di calcolo dei due circuiti equivalenti esaminati. Se un motore, descritto attraverso il circuito equivalente serie, alla tensione di alimentazione di 220 V, frequenza 50 Hz, assorbe una corrente di 8 A con un cos φ = 0,8, quale è la sua impedenza Z e le sue resistenze equivalenti R e XL? Dalla legge di Ohm ricaviamo: Dalle tabelle otteniamo che per cos φ = 0,8 si ha φ = 37° e quindi: Allora: Il motore agisce quindi come una resistenza di 22Ω ed una reattanza induttiva XL di 16,5Ω collegate in serie, assorbendo una corrente di 8 A. Se ora vogliamo descrivere la macchina attraverso il circuito equivalente parallelo si può procedere nel seguente modo: Le stesse relazioni si possono trovare anche seguendo un’altra via. Conoscendo l’impedenza del circuito serie si ha: e quindi R e XL con i calcoli eseguiti sopra. Il motore agisce quindi come una resistenza di 34,4Ω ed una reattanza induttiva XL = 45,8Ω collegate in parallelo, assorbendo sempre una corrente di 8 A. Powered By GSpeech