Circuiti in corrente alternata con collegamenti in serie

Dopo aver parlato dei circuiti equivalenti, vediamo le diverse possibilità di combinazione dei vari parametri, cominciando a parlare dei collegamenti di tipo serie.

Il primo tipo è quello che presenta una resistenza e una induttanza collegata in serie, detto comunemente circuito R – L.

È questo il circuito equivalente corrispondente ad una bobina avvolta su un nucleo di ferro, o in generale a qualsiasi circuito elettrico connesso con campi magnetici, ai cui capi viene applicata una tensione alternata V.

rl

In tali condizioni circola una corrente che, provoca una caduta di tensione sulla resistenza R pari a VR = R · I, in fase con essa, e una sull’induttanza pari a VL = XL · I in quadratura (in anticipo).

Evidentemente la tensione applicata V è uguale alla somma vettoriale delle due cadute di tensione:

vrvl

Scegliendo la direzione orizzontale per il vettore corrente I , la caduta di tensione R · I ha la stessa direzione (figura b) mentre XL · I è ad essa perpendicolare con il verso di figura (in anticipo).

Il triangolo di vettori ottenuto è, come sappiamo, il triangolo della tensione, che definisce in ampiezza e fase la tensione V applicata ai capi del circuito. Il triangolo della tensione è simile poi al triangolo dell’impedenza (vedi figura c) per cui possiamo esprimere il valore efficace della tensione attraverso la legge di Ohm:

leggeohm

L’effetto dell’induttanza in un circuito ohmico determina, quindi, un aumento apparente della resistenza dal valore R al valore zeta e un ritardo di fase della corrente rispetto alla tensione applicata, indicato dall’angolo di fase φ. Il valore di quest’angolo è determinato da una delle seguenti relazioni:

cosfrz

Un altro tipo di circuito con collegamento in serie è quello con resistenza e capacità, chiamato brevemente circuito RC in serie. Come circuito equivalente corrisponde ad un condensatore reale collegato mediante conduttori aventi una propria resistenza ohmica.

rc

Anche in questo caso la tensione applicata V si suddivide, per effetto della corrente, in due cadute di tensione: una sulla resistenza, pari a VR = R · I in fase con la corrente, e una sulla capacità, pari a VC = XC · I in quadratura (in ritardo) sulla corrente. Possiamo quindi scrivere:

vrc

Con il procedimento visto prima si può costituire il triangolo delle tensioni e quello dell’impedenza.

Ovviamente questa volta, la caduta di tensione XC · I sarà un vettore rivolto verso il basso essendo la corrente in anticipo.

Valgono poi le seguenti relazioni:

vcxc

e per lo sfasamento φ:

cosxc

In definitiva anche l’introduzione di un condensatore in un circuito ohmico determina un aumento apparente della resistenza dal valore R al valore zxc e uno sfasamento in anticipo della corrente rispetto alla tensione applicata al circuito.

Il circuito più generale comprendente tutti e tre i parametri in serie è quello che viene detto circuito RLC in serie.

Come circuito equivalente corrisponde ad un induttore ed un condensatore reali collegati in serie: la resistenza R è data da quella propria dell’induttore e da quella dei conduttori di collegamento.

rlc

Prestando attenzione agli effetti della presenza contemporanea dell’induttanza e della capacità, sono in questo caso ancora validi i ragionamenti fatti.

Ma procediamo con ordine.

La tensione applicata si suddivide, per effetto della circolazione della corrente I, ai capi di ogni elemento in tre cadute di tensione: VR = R · I sulla resistenza e in fase con la corrente I, VL = XL · I sull’induttanza e in quadratura in anticipo sulla corrente, VC = XC · I sulla capacità e in quadratura in ritardo sulla corrente.

Vettorialmente la tensione applicata al circuito sarà:

vrlc

Le cadute di tensione XL · I e XC · I sono, per quanto detto, due vettori opposti, per cui la loro somma vettoriale è operativamente una differenza aritmetica. Quindi:

vl+vc

Indicando con X, reattanza complessiva, la differenza XLXC, si possono verificare due casi:

  1. X = XLXC positivo: cioè prevale la reattanza induttiva. Il diagramma vettoriale della tensione e dell’impedenza sono quelli riportati in figura 4a;
  2. X = XLXC negativo: prevale la reattanza capacitiva per cui i diagrammi vettoriali assumono l’aspetto di figura 4b.

tensimp

L’impedenza Z è data in entrambi i casi:

impedenzarlc

L’espressione però non tragga in inganno.

Nel caso della prevalenza della reattanza capacitiva, si potrebbe pensare che la reattanza complessiva sia negativa così da avere una differenza vettoriale anziché di una somma. Ciò non è vero perché la differenza tra parentesi è elevata al quadrato: si ha cioè in ogni caso un valore positivo.

Del resto i segni positivo e negativo hanno valore esclusivamente convenzionale, indicano infatti l’anticipo o il ritardo di un vettore rispetto all’altro, per cui dire negativo equivale solo ad invertire il senso di un vettore lungo una data direzione.

Scriviamo ora la legge di Ohm (sempre per i valori efficaci) nel modo seguente:

leggeohmrlc

Infine dai triangoli delle impedenze possiamo ricavare le seguenti equazioni relative all’angolo di fase φ:

cosrlc

da cui servendoci, come sempre, delle tavole trigonometriche possiamo ricavare il valore di φ.

L’esempio seguente chiarirà come applicare le relazioni sopra citate.

Calcoliamo la tensione applicata e lo sfasamento tra V e I per un circuito costituito da una resistenza R = 10 Ω, una bobina di induttanza L = 0,05 H ed un condensatore della capacità C = 500 pF, collegati tra loro in serie, e percorso da una corrente alternata dell’intensità di 2 A, frequenza 50 Hz.

Calcoleremo poi le tensioni parziali applicate ai singoli parametri.

Calcoliamo innanzitutto le reattanze induttiva e capacitiva.

Reattanza induttiva:

XL = ω · L = 2·π L = 2·3,14·50·0,05 = 15,7 Ω

Reattanza capacitiva:

reattanzaXc

La reattanza complessiva sarà allora:

X =XLXC = 15,7 –6,37= 9,33 Ω

Si può adesso calcolare l’impedenza del circuito:

z1367

La tensione applicata al circuito è quindi:

V = Z · I = 13,67 · 2= 27,34 V.

Lo sfasamento tra tensione e corrente si ricava dopo aver calcolato il cos φ:

cos073

leggendo sulle tavole il corrispondente valore: φ = 43°.

Rappresentando il diagramma vettoriale la corrente sarà disegnata in ritardo dell’angolo φ sulla tensione (infatti l’effetto dell’induttanza prevale su quello della capacità).

Le tensioni parziali sono le seguenti:

sulla resistenza VR = R · I = 10 · 2 = 20 V;

sulla reattanza induttiva VL = XL · I = 15,7 · 2 = 31,4 V;

sulla reattanza capacitiva VL = XL · I = 6,37 · 2 = 12,74 V.

Queste tensioni sommate vettorialmente daranno ancora, come già sappiamo, la totale tensione V applicata al circuito.

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Evidentemente la tensione applicata V è uguale alla somma vettoriale delle due cadute di tensione: Scegliendo la direzione orizzontale per il vettore corrente I , la caduta di tensione R · I ha la stessa direzione (figura b) mentre XL · I è ad essa perpendicolare con il verso di figura (in anticipo). Il triangolo di vettori ottenuto è, come sappiamo, il triangolo della tensione, che definisce in ampiezza e fase la tensione V applicata ai capi del circuito. Il triangolo della tensione è simile poi al triangolo dell’impedenza (vedi figura c) per cui possiamo esprimere il valore efficace della tensione attraverso la legge di Ohm: L’effetto dell’induttanza in un circuito ohmico determina, quindi, un aumento apparente della resistenza dal valore R al valore e un ritardo di fase della corrente rispetto alla tensione applicata, indicato dall’angolo di fase φ. Il valore di quest’angolo è determinato da una delle seguenti relazioni: Un altro tipo di circuito con collegamento in serie è quello con resistenza e capacità, chiamato brevemente circuito R–C in serie. Come circuito equivalente corrisponde ad un condensatore reale collegato mediante conduttori aventi una propria resistenza ohmica. Anche in questo caso la tensione applicata V si suddivide, per effetto della corrente, in due cadute di tensione: una sulla resistenza, pari a VR = R · I in fase con la corrente, e una sulla capacità, pari a VC = XC · I in quadratura (in ritardo) sulla corrente. Possiamo quindi scrivere: Con il procedimento visto prima si può costituire il triangolo delle tensioni e quello dell’impedenza. Ovviamente questa volta, la caduta di tensione XC · I sarà un vettore rivolto verso il basso essendo la corrente in anticipo. Valgono poi le seguenti relazioni: e per lo sfasamento φ: In definitiva anche l’introduzione di un condensatore in un circuito ohmico determina un aumento apparente della resistenza dal valore R al valore e uno sfasamento in anticipo della corrente rispetto alla tensione applicata al circuito. Il circuito più generale comprendente tutti e tre i parametri in serie è quello che viene detto circuito R–L–C in serie. Come circuito equivalente corrisponde ad un induttore ed un condensatore reali collegati in serie: la resistenza R è data da quella propria dell’induttore e da quella dei conduttori di collegamento. Prestando attenzione agli effetti della presenza contemporanea dell’induttanza e della capacità, sono in questo caso ancora validi i ragionamenti fatti. Ma procediamo con ordine. La tensione applicata si suddivide, per effetto della circolazione della corrente I, ai capi di ogni elemento in tre cadute di tensione: VR = R · I sulla resistenza e in fase con la corrente I, VL = XL · I sull’induttanza e in quadratura in anticipo sulla corrente, VC = XC · I sulla capacità e in quadratura in ritardo sulla corrente. Vettorialmente la tensione applicata al circuito sarà: Le cadute di tensione XL · I e XC · I sono, per quanto detto, due vettori opposti, per cui la loro somma vettoriale è operativamente una differenza aritmetica. Quindi: Indicando con X, reattanza complessiva, la differenza XL – XC, si possono verificare due casi: X = XL – XC positivo: cioè prevale la reattanza induttiva. Il diagramma vettoriale della tensione e dell’impedenza sono quelli riportati in figura 4a; X = XL – XC negativo: prevale la reattanza capacitiva per cui i diagrammi vettoriali assumono l’aspetto di figura 4b. L’impedenza Z è data in entrambi i casi: L’espressione però non tragga in inganno. Nel caso della prevalenza della reattanza capacitiva, si potrebbe pensare che la reattanza complessiva sia negativa così da avere una differenza vettoriale anziché di una somma. Ciò non è vero perché la differenza tra parentesi è elevata al quadrato: si ha cioè in ogni caso un valore positivo. Del resto i segni positivo e negativo hanno valore esclusivamente convenzionale, indicano infatti l’anticipo o il ritardo di un vettore rispetto all’altro, per cui dire negativo equivale solo ad invertire il senso di un vettore lungo una data direzione. Scriviamo ora la legge di Ohm (sempre per i valori efficaci) nel modo seguente: Infine dai triangoli delle impedenze possiamo ricavare le seguenti equazioni relative all’angolo di fase φ: da cui servendoci, come sempre, delle tavole trigonometriche possiamo ricavare il valore di φ. L’esempio seguente chiarirà come applicare le relazioni sopra citate. Calcoliamo la tensione applicata e lo sfasamento tra V e I per un circuito costituito da una resistenza R = 10 Ω, una bobina di induttanza L = 0,05 H ed un condensatore della capacità C = 500 pF, collegati tra loro in serie, e percorso da una corrente alternata dell’intensità di 2 A, frequenza 50 Hz. Calcoleremo poi le tensioni parziali applicate ai singoli parametri. Calcoliamo innanzitutto le reattanze induttiva e capacitiva. Reattanza induttiva: XL = ω · L = 2·π f·L = 2·3,14·50·0,05 = 15,7 Ω Reattanza capacitiva: La reattanza complessiva sarà allora: X =XL –XC = 15,7 –6,37= 9,33 Ω Si può adesso calcolare l’impedenza del circuito: La tensione applicata al circuito è quindi: V = Z · I = 13,67 · 2= 27,34 V. Lo sfasamento tra tensione e corrente si ricava dopo aver calcolato il cos φ: leggendo sulle tavole il corrispondente valore: φ = 43°. Rappresentando il diagramma vettoriale la corrente sarà disegnata in ritardo dell’angolo φ sulla tensione (infatti l’effetto dell’induttanza prevale su quello della capacità). Le tensioni parziali sono le seguenti: sulla resistenza VR = R · I = 10 · 2 = 20 V; sulla reattanza induttiva VL = XL · I = 15,7 · 2 = 31,4 V; sulla reattanza capacitiva VL = XL · I = 6,37 · 2 = 12,74 V. Queste tensioni sommate vettorialmente daranno ancora, come già sappiamo, la totale tensione V applicata al circuito. Powered By GSpeech