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Diagrammi – Elementi di Trigonometria – Vettori


Per lo studio delle correnti alternate, occorre conoscere alcune nozioni di matematica senza le quali la comprensione di tali argomenti presenterebbe non poche difficoltà.

Un concetto molto importante è quello di funzione. Sappiamo che le quantità che mantengono sempre lo stesso valore sono dette costanti. Per contro, una quantità alla quale si possono assegnare valori arbitrari si dice variabile, e viene indicata solitamente con le ultime lettere dell’alfabeto x, y, z.

Diciamo che la variabile y è funzione della variabile x e si scrive y = f(x), quando esiste una relazione che fa corrispondere ad ogni valore di x, variabile indipendente, un ben determinato valore di y, variabile dipendente. Sono esempi di funzione le seguenti dipendenze:

l’area della superficie “di un quadrato” (y) che dipende dalla lunghezza del suo lato; il volume di una sfera (y) che dipende dal suo raggio (x); la corrente y, in un circuito che abbia una resistenza determinata, dipende dalla tensione applicata.

Le funzioni vengono studiate mediante la loro rappresentazione grafica o diagramma cartesiano. Per fare questo si fissano nel piano due assi perpendicolari tra loro, uno orizzontale ed uno verticale. Su ciascuno viene riportata una delle due grandezze: generalmente si ha la variabile indipendente x sull’asse orizzontale (asse delle ascisse o asse x), quella dipendente y, su quello verticale (asse delle ordinate o asse y). Ogni asse viene suddiviso a partire dall’origine, punto d’incontro dei due assi, in un certo numero di parti. Assegnando alla variabile indipendente x dei valori arbitrari, otteniamo, in corrispondenza, i valori di y. Per esempio se il lato di un quadrato (x) vale 2 o 4 o 7 o 10, l’area (y) sarà rispettivamente 4, 16, 49, 100. Ad ogni coppia di punti (x, y), nel nostro esempio (2,4) – (4, 16) – (7, 49)– (10, 100), corrisponde nei piano un solo punto. Unendo tra di loro tutti questi punti si ha il diagramma cercato.

Altrettanto importante è in elettrotecnica, la trigonometria che fornisce i mezzi per calcolare tutti gli elementi di un qualsiasi triangolo quando ne siano noti tre a piacere, fra i quali almeno un lato.

Premettiamo qualche definizione essenziale.

Un angolo può essere misurato in gradi sessagesimali e in radianti.

Il grado, come è noto, è la 360° parte dell’angolo giro e i suoi sottomultipli sono:

  • il primo che è la sessantesima parte del grado;
  • il secondo che è la sessantesima parte del primo.

Per indicare che un angolo ha la misura di 43 gradi, 15 primi e 26 secondi, scriveremo 43° 15′ 26″.

Si dice radiante l’arco di una circonferenza che abbia lunghezza uguale al raggio, e angolo radiante l’angolo che sottende un radiante.

Una misura fatta con un sistema può essere convertita nell’altro sistema adoperando delle semplici relazioni. Se si indica con α° la misura di un angolo in gradi e con φrad quella di uno in radianti, si ha la proporzione:

α° : 180° = φrad : π

da cui:alternata

efi

Per la risoluzione dei triangoli si fa ricorso ad alcune funzioni caratteristiche definite considerando una circonferenza di raggio unitario e un generico angolo al centro α i cui valori numerici e variazioni sono in relazione ai valori assunti da un angolo.

Definiamo seno dell’angolo α e lo indichiamo con sen α il rapporto tra l’ordinata MH e il raggio OM:

 

circgon

sen

Il coseno dell’angolo α (cos α) è definito invece come rapporto tra l’ascissa OH e il raggio OM:

cos

Ricordando poi che abbiamo definito sia il seno che il coseno considerando una circonferenza di raggio unitario, è OM = 1, e quindi possiamo scrivere:

sen α = MH cos α = OH

La tangente dell’angolo α (tg α) è il rapporto tra il segmento AT e il raggio OM che corrisponde al rapporto tra seno e coseno:

tg

Trattandosi di rapporti tra segmenti, le funzioni trigonometriche sono dei numeri puri, cioè non hanno dimensioni fisiche.

È evidente che al variare dell’angolo ai valori del seno, del coseno e della tangente varieranno anch’essi. Precisamente il seno e il coseno oscilleranno tra 1 e – 1; la tangente invece può assumere tutti i valori possibili, positivi e negativi.

La Tabella1 riporta i valori del seno, del coseno e della tangente per alcuni angoli (indicati con φ) compresi tra 0° e 90°.

 

Tabella 1. Funzioni dell’angolo

φ

sen φ

cos φ

tan φ

0

0,0000

1,0000

0,0000

1

0,0175

0,9999

0,0175

2

0,0349

0,9994

0,0349

3

0,0523

0,9986

0,0524

4

0,0698

0,9976

0,0699

5

0,0872

0,9962

0,0875

6

0,1045

0,9945

0,1051

7

0,1219

0,9925

0,1218

8

0,1392

0,9903

0,1405

9

0,1564

0,9877

0,1584

10

0,1736

0,9848

0,1763

11

0,1908

0,9816

0,1344

12

0,2079

0,9781

0,2126

13

0,2250

0,9744

0,2309

14

0,2419

0,9703

0,2493

15

0,2588

0,9659

0,2679

16

0,2756

0,9613

0,2867

17

0,2924

0,9563

0,3057

18

0,3090

0,9511

0,3249

19

0,3256

0,9955

0,3443

20

0,3420

0,9397

0,3640

21

0,3584

0,9336

0,3839

22

0,3746

0,9272

0,4040

23

0,3907

0,9205

0,4245

24

0,4067

0,9135

0,4452

25

0,4226

0,9063

0,4663

26

0,4348

0,8988

0,4877

27

0,4540

0,8910

0,5095

28

0,4695

0,8829

0,5317

29

0,4848

0,8746

0,5543

30

0,5000

0,8660

0,5774

31

0,5150

0,8572

0,6009

32

0,5299

0,8480

0,6249

33

0,5446

0,8387

0,6494

34

0,5592

0,8290

0,6745

35

0,5736

0,8192

0,7002

36

0,5878

0,8090

0,7265

37

0,6018

0,7986

0,7536

38

0,6157

0,7880

0,7813

39

0,6293

0,7771

0,8098

40

0,6428

0,7660

0,8391

41

0,6561

0,7547

0,8693

42

0,6691

0,7431

0,9004

43

0,6820

0,7314

0,9324

44

0,6947

0,7193

0,9657

45

0,7071

0,7071

1,0000

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

 

90

1,0000

0,0000

¥

 

A questo punto possiamo ricavare facilmente le formule risolutive dei triangoli rettangoli.

 

triangolo

 

Sfruttando quanto detto e utilizzando i simboli della figura, abbiamo per l’angolo x:

seng

cosg

tang

Da cui possiamo ricavare:

c = a·sen γ b = a·cos γ c = b·tg γ

Considerando l’angolo β avremo:

senb cosb tanb

e quindi:

b = a·sen β c = a·cos β b = c·tg β

 

Osserviamo che nel caso di un triangolo rettangolo per determinarne tutti gli elementi è sufficiente conoscerne due soli, essendo il terzo (l’angolo retto) noto.

L’ultimo argomento da affrontare è quello riguardante vettori e il calcolo vettoriale.

In fisica le grandezze si possono suddividere in due categorie: grandezze scalari e grandezze vettoriali. Alla prima appartengono grandezze che possono essere definite solo da un numero, come ad esempio il tempo o la temperatura. Alla seconda quelle grandezze che per essere definite completamente abbisognano di un numero, detto intensità o modulo, una direzione, e un verso.

Pensate a un uomo che muove un peso. Sapere con quanta energia (modulo) compie questa operazione non è sufficiente. Occorre infatti, sapere anche in che direzione lo muove (la retta lungo cui avviene il movimento): per esempio se lo sposta orizzontalmente o verticalmente e anche in che verso, alto o basso, destra o sinistra. Possiamo sostituire l’uomo con un vettore rappresentato da una freccia la cui lunghezza è il modulo, la retta su cui giace è la direzione, e il verso è dato dalla punta.

I vettori sono indicati oltre che da una freccia da una lettera in grassetto con un tratto sovrapposto.

Le operazioni sui vettori che interessano di più sono la somma e la differenza.

In figura è riportata la somma vettoriale di due vettori a e b eseguita con la regola del parallelogramma, che consiste nel tracciare dai vertici dei due vettori le parallele alle loro direzioni. La somma è la diagonale principale del parallelogramma.

vettori

Il calcolo matematico della somma può essere eseguito con relazioni trigonometriche quando è noto l’angolo tra i due vettori.

Noi considereremo in elettrotecnica vettori che generalmente sono perpendicolari tra loro; potremo sfruttare così le relazioni per la risoluzione dei triangoli rettangoli.

La differenza tra i vettori due vettori a e b può rappresentarsi in figura e sarebbe identificata dall’altra diagonale del parallelogramma. Può comunque essere ricavata con la regola della somma tenendo presente che il vettore -b corrisponde al modulo e alla direzione del vettore b, ma con verso invertito: ciò equivale a dire pure che il vettore b può essere sommato al vettore a dopo essere stato ribaltato di un angolo di 180°.

  Click to listen highlighted text! Per lo studio delle correnti alternate, occorre conoscere alcune nozioni di matematica senza le quali la comprensione di tali argomenti presenterebbe non poche difficoltà. Un concetto molto importante è quello di funzione. Sappiamo che le quantità che mantengono sempre lo stesso valore sono dette costanti. Per contro, una quantità alla quale si possono assegnare valori arbitrari si dice variabile, e viene indicata solitamente con le ultime lettere dell’alfabeto x, y, z. Diciamo che la variabile y è funzione della variabile x e si scrive y = f(x), quando esiste una relazione che fa corrispondere ad ogni valore di x, variabile indipendente, un ben determinato valore di y, variabile dipendente. Sono esempi di funzione le seguenti dipendenze: l’area della superficie “di un quadrato” (y) che dipende dalla lunghezza del suo lato; il volume di una sfera (y) che dipende dal suo raggio (x); la corrente y, in un circuito che abbia una resistenza determinata, dipende dalla tensione applicata. Le funzioni vengono studiate mediante la loro rappresentazione grafica o diagramma cartesiano. Per fare questo si fissano nel piano due assi perpendicolari tra loro, uno orizzontale ed uno verticale. Su ciascuno viene riportata una delle due grandezze: generalmente si ha la variabile indipendente x sull’asse orizzontale (asse delle ascisse o asse x), quella dipendente y, su quello verticale (asse delle ordinate o asse y). Ogni asse viene suddiviso a partire dall’origine, punto d’incontro dei due assi, in un certo numero di parti. Assegnando alla variabile indipendente x dei valori arbitrari, otteniamo, in corrispondenza, i valori di y. Per esempio se il lato di un quadrato (x) vale 2 o 4 o 7 o 10, l’area (y) sarà rispettivamente 4, 16, 49, 100. Ad ogni coppia di punti (x, y), nel nostro esempio (2,4) – (4, 16) – (7, 49)– (10, 100), corrisponde nei piano un solo punto. Unendo tra di loro tutti questi punti si ha il diagramma cercato. Altrettanto importante è in elettrotecnica, la trigonometria che fornisce i mezzi per calcolare tutti gli elementi di un qualsiasi triangolo quando ne siano noti tre a piacere, fra i quali almeno un lato. Premettiamo qualche definizione essenziale. Un angolo può essere misurato in gradi sessagesimali e in radianti. Il grado, come è noto, è la 360° parte dell’angolo giro e i suoi sottomultipli sono: il primo che è la sessantesima parte del grado; il secondo che è la sessantesima parte del primo. Per indicare che un angolo ha la misura di 43 gradi, 15 primi e 26 secondi, scriveremo 43° 15′ 26″. Si dice radiante l’arco di una circonferenza che abbia lunghezza uguale al raggio, e angolo radiante l’angolo che sottende un radiante. Una misura fatta con un sistema può essere convertita nell’altro sistema adoperando delle semplici relazioni. Se si indica con α° la misura di un angolo in gradi e con φrad quella di uno in radianti, si ha la proporzione: α° : 180° = φrad : π da cui: e Per la risoluzione dei triangoli si fa ricorso ad alcune funzioni caratteristiche definite considerando una circonferenza di raggio unitario e un generico angolo al centro α i cui valori numerici e variazioni sono in relazione ai valori assunti da un angolo. Definiamo seno dell’angolo α e lo indichiamo con sen α il rapporto tra l’ordinata MH e il raggio OM:   Il coseno dell’angolo α (cos α) è definito invece come rapporto tra l’ascissa OH e il raggio OM: Ricordando poi che abbiamo definito sia il seno che il coseno considerando una circonferenza di raggio unitario, è OM = 1, e quindi possiamo scrivere: sen α = MH cos α = OH La tangente dell’angolo α (tg α) è il rapporto tra il segmento AT e il raggio OM che corrisponde al rapporto tra seno e coseno: Trattandosi di rapporti tra segmenti, le funzioni trigonometriche sono dei numeri puri, cioè non hanno dimensioni fisiche. È evidente che al variare dell’angolo ai valori del seno, del coseno e della tangente varieranno anch’essi. Precisamente il seno e il coseno oscilleranno tra 1 e – 1; la tangente invece può assumere tutti i valori possibili, positivi e negativi. La Tabella1 riporta i valori del seno, del coseno e della tangente per alcuni angoli (indicati con φ) compresi tra 0° e 90°.   Tabella 1. Funzioni dell’angolo φ sen φ cos φ tan φ 0 0,0000 1,0000 0,0000 1 0,0175 0,9999 0,0175 2 0,0349 0,9994 0,0349 3 0,0523 0,9986 0,0524 4 0,0698 0,9976 0,0699 5 0,0872 0,9962 0,0875 6 0,1045 0,9945 0,1051 7 0,1219 0,9925 0,1218 8 0,1392 0,9903 0,1405 9 0,1564 0,9877 0,1584 10 0,1736 0,9848 0,1763 11 0,1908 0,9816 0,1344 12 0,2079 0,9781 0,2126 13 0,2250 0,9744 0,2309 14 0,2419 0,9703 0,2493 15 0,2588 0,9659 0,2679 16 0,2756 0,9613 0,2867 17 0,2924 0,9563 0,3057 18 0,3090 0,9511 0,3249 19 0,3256 0,9955 0,3443 20 0,3420 0,9397 0,3640 21 0,3584 0,9336 0,3839 22 0,3746 0,9272 0,4040 23 0,3907 0,9205 0,4245 24 0,4067 0,9135 0,4452 25 0,4226 0,9063 0,4663 26 0,4348 0,8988 0,4877 27 0,4540 0,8910 0,5095 28 0,4695 0,8829 0,5317 29 0,4848 0,8746 0,5543 30 0,5000 0,8660 0,5774 31 0,5150 0,8572 0,6009 32 0,5299 0,8480 0,6249 33 0,5446 0,8387 0,6494 34 0,5592 0,8290 0,6745 35 0,5736 0,8192 0,7002 36 0,5878 0,8090 0,7265 37 0,6018 0,7986 0,7536 38 0,6157 0,7880 0,7813 39 0,6293 0,7771 0,8098 40 0,6428 0,7660 0,8391 41 0,6561 0,7547 0,8693 42 0,6691 0,7431 0,9004 43 0,6820 0,7314 0,9324 44 0,6947 0,7193 0,9657 45 0,7071 0,7071 1,0000 . . . . . . . . . . .   90 1,0000 0,0000 ¥   A questo punto possiamo ricavare facilmente le formule risolutive dei triangoli rettangoli.     Sfruttando quanto detto e utilizzando i simboli della figura, abbiamo per l’angolo x: Da cui possiamo ricavare: c = a·sen γ b = a·cos γ c = b·tg γ Considerando l’angolo β avremo: e quindi: b = a·sen β c = a·cos β b = c·tg β   Osserviamo che nel caso di un triangolo rettangolo per determinarne tutti gli elementi è sufficiente conoscerne due soli, essendo il terzo (l’angolo retto) noto. L’ultimo argomento da affrontare è quello riguardante vettori e il calcolo vettoriale. In fisica le grandezze si possono suddividere in due categorie: grandezze scalari e grandezze vettoriali. Alla prima appartengono grandezze che possono essere definite solo da un numero, come ad esempio il tempo o la temperatura. Alla seconda quelle grandezze che per essere definite completamente abbisognano di un numero, detto intensità o modulo, una direzione, e un verso. Pensate a un uomo che muove un peso. Sapere con quanta energia (modulo) compie questa operazione non è sufficiente. Occorre infatti, sapere anche in che direzione lo muove (la retta lungo cui avviene il movimento): per esempio se lo sposta orizzontalmente o verticalmente e anche in che verso, alto o basso, destra o sinistra. Possiamo sostituire l’uomo con un vettore rappresentato da una freccia la cui lunghezza è il modulo, la retta su cui giace è la direzione, e il verso è dato dalla punta. I vettori sono indicati oltre che da una freccia da una lettera in grassetto con un tratto sovrapposto. Le operazioni sui vettori che interessano di più sono la somma e la differenza. In figura è riportata la somma vettoriale di due vettori e eseguita con la regola del parallelogramma, che consiste nel tracciare dai vertici dei due vettori le parallele alle loro direzioni. La somma è la diagonale principale del parallelogramma. Il calcolo matematico della somma può essere eseguito con relazioni trigonometriche quando è noto l’angolo tra i due vettori. Noi considereremo in elettrotecnica vettori che generalmente sono perpendicolari tra loro; potremo sfruttare così le relazioni per la risoluzione dei triangoli rettangoli. La differenza tra i vettori due vettori e può rappresentarsi in figura e sarebbe identificata dall’altra diagonale del parallelogramma. Può comunque essere ricavata con la regola della somma tenendo presente che il vettore - corrisponde al modulo e alla direzione del vettore , ma con verso invertito: ciò equivale a dire pure che il vettore può essere sommato al vettore dopo essere stato ribaltato di un angolo di 180°. Powered By GSpeech