Esercizio 2: Soluzione

$\text{Dato il circuito di figura trovare la corrente } I_3 \text{ col principio di sovrapposizione degli effetti.}$

$\begin{aligned} E_1 &= 10,\text{V} \ E_2 = E_3 &= 7,\text{V} \ R_1 &= 2,\Omega \ R_2 = R_3 &= 1,\Omega \ I_3 &= ? \end{aligned}$

$\textbf{Caso 2: è in funzione solo il generatore } E_1$

$R_p = R_3 \parallel R_2 = \frac{R_3 R_2}{R_3 + R_2} = \frac{1}{2}\;\Omega$

$I_1' = \frac{E_1}{R_1 + R_p} = \frac{10}{2 + \frac{1}{2}} = \frac{20}{5} = 4\;A$

$V_{AB} = R_p I_1' = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2\;V$

$\text{La tensione } V_{AB} \text{ si trova ai capi della resistenza } R_3 \text{ sulla quale scorre la } I_3'.$

$I_3' = \frac{V_{AB}}{R_3} = \frac{2}{1} = 2\;A;$

$\textbf{Caso 2: è in funzione solo il generatore } E_2$

$R_p = R_3 \parallel R_1 = \frac{R_3 R_1}{R_3 + R_1} = \frac{2}{3}\;\Omega$

$I_2'' = \frac{E_2}{R_2 + R_p} = \frac{7}{1 + \frac{2}{3}} = \frac{21}{5}\;A$

$V_{AB} = R_p I_2'' = \frac{2}{3} \cdot \frac{21}{5} = \frac{14}{5}\;V$

$\text{La tensione } V_{AB} \text{ si trova ai capi della resistenza } R_3 \text{ sulla quale scorre la } I_3''.$

$I_3'' = \frac{V_{AB}}{R_3} = \frac{14/5}{1} = \frac{14}{5}\;A$

$\textbf{Caso 2: è in funzione solo il generatore } E_3$

$R_p = R_1 \parallel R_2 = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} = \frac{1 \cdot 2}{1 + 2} = \frac{2}{3}\;\Omega$

$I_3''' = \frac{E_3}{R_3 + R_p} = \frac{7}{1 + \frac{2}{3}} = \frac{21}{5}\;\A$

$\text{per cui avremo}$

$I_3 = I_3' + I_3'' + I_3''' = 2 + \frac{14}{5} + \frac{21}{5} = \frac{10 + 14 + 21}{5} = \frac{45}{5} = 9\;A$

$\text{usando il teorema di Millmann}$

$V_{AB} = \frac{\sum\limits_i \frac{E_i}{R_i}}{\sum\limits_i \frac{1}{R_i}} = \frac{\frac{10}{2} + \frac{7}{1} - \frac{7}{1}}{\frac{1}{2} + \frac{1}{1} + \frac{1}{1}} = \frac{5}{\frac{1}{2} + 2} = \frac{5}{\frac{1 + 4}{2}} = 2\;V$

$\text{usando la legge di Ohm generalizzata}$

$V_{AB} - V_3 + E_3 = 0 \quad \rightarrow \quad 2 - 1 \cdot I_3 + 7 = 0$

$I_3 = 2 + 7 = 9\;A$